Calcul intégral

L'intégrale d'une fonction continue et positive f sur un intervalle [a ; b] représente l'aire du domaine compris entre la courbe de f, l'axe des abscisses et les droites x = a et x = b, exprimée en unités d'aire (u.a.). On note cette intégrale ∫ₐᵇ f(x) dx, où a est la borne inférieure et b la borne supérieure. Le théorème fondamental de l'analyse relie intégrales et primitives : si F est une primitive de f sur [a ; b], alors ∫ₐᵇ f(x) dx = F(b) − F(a). La fonction x ↦ ∫ₐˣ f(t) dt est la primitive de f qui s'annule en a. Les propriétés essentielles sont la linéarité (∫(αf + βg) = α∫f + β∫g), la relation de Chasles (∫ₐᵇ + ∫ᵇᶜ = ∫ₐᶜ), et la positivité (si f ≥ 0 sur [a ; b], alors ∫ₐᵇ f(x) dx ≥ 0). Pour une fonction qui change de signe, l'aire totale entre la courbe et l'axe des abscisses se calcule en sommant les valeurs absolues des intégrales sur chaque intervalle de signe constant. La valeur moyenne de f sur [a ; b] est μ = (1/(b−a)) × ∫ₐᵇ f(x) dx.