Maths (Spé) — Probabilités
Combinatoire et dénombrement
Permutations, arrangements, combinaisons, binôme de Newton
Résumé synthétiqueFiche en 6 sectionsQuiz de 10 questionsGratuit, sans pub
Résumé
La combinatoire permet de compter le nombre de façons de choisir ou d'ordonner des éléments d'un ensemble. Le nombre de permutations de n éléments est n! (factorielle n). Le nombre d'arrangements de p éléments parmi n est n!/(n−p)!, ce qui correspond au nombre de listes ordonnées. Le nombre de combinaisons de p éléments parmi n, noté C(n,p) ou (n p), est n!/[p!(n−p)!] : il compte les sous-ensembles sans tenir compte de l'ordre. Par exemple, le nombre de mains de 5 cartes dans un jeu de 32 est C(32,5) = 201 376. La formule du binôme de Newton permet de développer (a+b)ⁿ = Σ C(n,k) aⁿ⁻ᵏ bᵏ pour k de 0 à n. Le triangle de Pascal organise les coefficients binomiaux avec la relation C(n,k) = C(n−1,k−1) + C(n−1,k).
La factorielle est l'outil de base du dénombrement. Elle permet de compter toutes les façons d'ordonner un ensemble d'éléments — c'est le point de départ de la combinatoire.
- Définition : n! (factorielle n) = n × (n−1) × (n−2) × ... × 2 × 1. Par convention, 0! = 1
- Exemples : 3! = 6, 4! = 24, 5! = 120, 10! = 3 628 800
- Interprétation : n! = nombre de permutations = nombre de façons d'ordonner n éléments distincts
- Propriété récursive : n! = n × (n−1)!, ce qui permet de simplifier les calculs de fractions de factorielles
- Croissance très rapide : 13! > 6 milliards. C'est pourquoi on simplifie toujours avant de calculer
Exemple
Combien de façons de ranger 5 livres sur une étagère ? La première place a 5 choix, la deuxième 4, etc. → 5 × 4 × 3 × 2 × 1 = 5! = 120 façons.
Piège à éviter
Ne pas oublier que 0! = 1 (par convention). Cette valeur apparaît souvent dans les formules de combinaisons quand k = 0 ou k = n.
Un arrangement est une sélection ordonnée. La question type : « De combien de façons peut-on former un podium / un code / une liste ordonnée ? »
- Définition : un arrangement de p éléments parmi n est une liste ordonnée de p éléments distincts choisis parmi n
- Formule : A(n,p) = n!/(n−p)! = n × (n−1) × ... × (n−p+1), soit p facteurs consécutifs décroissants
- L'ordre compte : (A,B,C) ≠ (C,B,A), ce sont deux arrangements différents
- Cas particulier : A(n,n) = n! → c'est une permutation (on utilise tous les éléments)
- Cas particulier : A(n,1) = n → choisir 1 élément parmi n
- Astuce calcul : A(10,3) = 10 × 9 × 8 = 720. Pas besoin de calculer 10! en entier
Exemple
Nombre de podiums (or, argent, bronze) parmi 10 athlètes : A(10,3) = 10 × 9 × 8 = 720. Chaque place est distincte, donc l'ordre compte.
Piège à éviter
Si l'énoncé dit « classement », « rang », « code », « ordre » → c'est un arrangement. Si l'énoncé dit « groupe », « équipe », « main de cartes » → c'est une combinaison.
Les combinaisons comptent les sous-ensembles. C'est l'outil le plus fréquent au Bac — il intervient dans les problèmes de probabilités, de dénombrement de mains de cartes, de choix de groupes, etc.
- Définition : une combinaison de p éléments parmi n est un sous-ensemble de p éléments (sans ordre)
- Formule : C(n,p) = n!/[p!(n−p)!]. On note aussi \binom{n}{p} (« p parmi n »)
- Lien avec les arrangements : C(n,p) = A(n,p)/p! — on divise par p! pour éliminer les ordres redondants
- Symétrie fondamentale : C(n,p) = C(n,n−p). Choisir p éléments = exclure n−p éléments
- Valeurs remarquables : C(n,0) = C(n,n) = 1 et C(n,1) = C(n,n−1) = n
- Technique de simplification : C(8,3) = (8×7×6)/(3×2×1) = 56. Toujours simplifier avant de multiplier
Exemple
Nombre de mains de 5 cartes dans un jeu de 32 : C(32,5) = (32×31×30×29×28)/(5×4×3×2×1) = 201 376. L'ordre de distribution ne compte pas.
Piège à éviter
Erreur classique au Bac : confondre C(n,p) et A(n,p). Se demander « est-ce que l'ordre change le résultat ? » Si oui → arrangement. Si non → combinaison.
Le triangle de Pascal est une table qui organise tous les coefficients binomiaux C(n,k). Chaque nombre est la somme des deux nombres situés juste au-dessus de lui.
- Relation de Pascal : C(n,k) = C(n−1,k−1) + C(n−1,k) — c'est la règle de construction du triangle
- Les bords du triangle valent toujours 1 : C(n,0) = C(n,n) = 1
- Chaque ligne est symétrique : la lecture se fait dans les deux sens
- Ligne n = coefficients du développement de (a+b)ⁿ
- Somme d'une ligne : C(n,0) + C(n,1) + ... + C(n,n) = 2ⁿ
- Au Bac : on peut construire le triangle jusqu'à la ligne demandée plutôt que calculer chaque C(n,k)
Exemple
Pour trouver C(5,2) avec le triangle : ligne 5 → 1, 5, 10, 10, 5, 1. Le coefficient en position k=2 est 10. Vérification : 5!/(2!×3!) = 120/12 = 10.
Le binôme de Newton permet de développer (a+b)ⁿ sans tout multiplier. Les coefficients sont exactement ceux du triangle de Pascal — c'est l'application principale de la combinatoire en algèbre.
- Formule : (a+b)ⁿ = Σₖ₌₀ⁿ C(n,k) aⁿ⁻ᵏ bᵏ
- Les puissances de a décroissent de n à 0, celles de b croissent de 0 à n
- La somme des exposants vaut toujours n dans chaque terme
- Cas particuliers utiles : (1+x)ⁿ = Σ C(n,k) xᵏ et (1−1)ⁿ = 0 donne la somme alternée
- Application : (1+1)ⁿ = 2ⁿ prouve que la somme de tous les C(n,k) vaut 2ⁿ
Exemple
Développer (x+2)⁴ : on utilise la ligne 4 → 1,4,6,4,1. On obtient : 1·x⁴·1 + 4·x³·2 + 6·x²·4 + 4·x·8 + 1·1·16 = x⁴ + 8x³ + 24x² + 32x + 16.
Piège à éviter
Quand b est négatif, les signes alternent. Par exemple (a−b)³ = a³ − 3a²b + 3ab² − b³. Ne pas oublier l'alternance des signes !
Au Bac, la difficulté n'est pas le calcul mais l'identification de l'outil. Voici la démarche systématique à suivre face à un exercice de dénombrement.
- Étape 1 : Identifier l'ensemble de départ (dans quoi on choisit ?) et le nombre d'éléments n
- Étape 2 : Combien d'éléments choisit-on ? → c'est p
- Étape 3 : L'ordre a-t-il une importance ? → Oui : arrangement. Non : combinaison
- Étape 4 : Si l'exercice mélange contraintes, décomposer en étapes indépendantes et multiplier (principe multiplicatif)
- Principe additif : si deux cas sont incompatibles, on additionne leurs nombres de possibilités
- Principe multiplicatif : si deux choix sont indépendants, on multiplie leurs nombres de possibilités
- Dénombrement du complémentaire : parfois il est plus simple de calculer le total − les cas interdits
Exemple
Parmi 20 élèves, combien de délégations de 3 personnes avec au moins une fille (12 filles, 8 garçons) ? Méthode complémentaire : C(20,3) − C(8,3) = 1140 − 56 = 1084.
Piège à éviter
« Au moins un » → penser au complémentaire. C'est souvent plus rapide que de lister tous les cas favorables.
Quiz - Combinatoire et dénombrement
10 questions
Notions clés — Maths (Spé)
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Questions fréquentes
Les points clés à retenir sur Combinatoire et dénombrement, extraits du quiz de révision.
Que vaut 5! ?
Réponse : 120
5! = 5 × 4 × 3 × 2 × 1 = 120. Factorielle n est le produit de tous les entiers de 1 à n.
Combien de façons d'ordonner 4 personnes dans une file ?
Réponse : 24
C'est le nombre de permutations de 4 éléments : 4! = 4 × 3 × 2 × 1 = 24.
Que vaut C(6,2) ?
Réponse : 15
C(6,2) = 6!/(2!×4!) = (6×5)/(2×1) = 30/2 = 15. C'est le nombre de façons de choisir 2 éléments parmi 6 sans ordre.
Quelle est la relation de Pascal ?
Réponse : C(n,k) = C(n−1,k−1) + C(n−1,k)
La relation de Pascal stipule que C(n,k) = C(n−1,k−1) + C(n−1,k). C'est cette relation qui construit le triangle de Pascal ligne par ligne.