Suites — Récurrence et convergence

Le raisonnement par récurrence permet de démontrer qu'une propriété P(n) est vraie pour tout entier n ≥ n₀ en deux étapes : l'initialisation (vérifier P(n₀)) et l'hérédité (montrer que P(n) ⟹ P(n+1)). C'est l'outil fondamental pour les suites définies par récurrence. Une suite (uₙ) est croissante si uₙ₊₁ ≥ uₙ pour tout n, décroissante si uₙ₊₁ ≤ uₙ. Une suite est convergente si elle admet une limite finie ℓ quand n tend vers +∞. Le théorème de convergence monotone affirme que toute suite croissante majorée converge, et toute suite décroissante minorée converge. Deux suites adjacentes (l'une croissante, l'autre décroissante, avec la même limite) convergent vers la même limite.