Maths (Spé) — Analyse
Suites — Récurrence et convergence
Raisonnement par récurrence, monotonie, convergence, théorèmes
Résumé synthétiqueFiche en 4 sectionsQuiz de 10 questionsGratuit, sans pub
Résumé
Le **raisonnement par récurrence** permet de démontrer qu'une propriété $P(n)$ est vraie pour tout entier $n \geq n_0$ en deux étapes : l'**initialisation** (vérifier $P(n_0)$) et l'**hérédité** (montrer que $P(n) \Rightarrow P(n+1)$). C'est l'outil fondamental pour les suites définies par récurrence. Une suite $(u_n)$ est **croissante** si $u_{n+1} \geq u_n$ pour tout $n$, **décroissante** si $u_{n+1} \leq u_n$. Une suite est **convergente** si elle admet une limite finie $\ell$ quand $n$ tend vers $+\infty$. Le **théorème de convergence monotone** affirme que toute suite croissante majorée converge, et que toute suite décroissante minorée converge. Deux suites **adjacentes** (l'une croissante, l'autre décroissante, avec la même limite) convergent vers la même limite.
La **récurrence** est LA méthode incontournable du programme de Terminale. Elle permet de démontrer qu'une propriété est vraie pour tout entier à partir d'un certain rang — comme une chaîne de **dominos**.
- **Étape 1 — Initialisation :** vérifier que $P(n_0)$ est vraie (souvent $n_0 = 0$ ou $n_0 = 1$).
- **Étape 2 — Hérédité :** supposer $P(n)$ vraie pour un certain $n \geq n_0$ (**hypothèse de récurrence**), puis montrer que $P(n+1)$ est vraie.
- **Étape 3 — Conclusion :** « Par le principe de récurrence, $P(n)$ est vraie pour tout entier $n \geq n_0$. »
- L'**hypothèse de récurrence** DOIT être utilisée dans la démonstration de l'hérédité — sinon la preuve est incomplète.
- **Rédaction type :** « Soit $P(n)$ la propriété… Initialisation : pour $n = 0$… Hérédité : supposons $P(n)$ vraie pour un certain $n$… Montrons $P(n+1)$… »
Exemple
Montrer que pour tout $n \geq 1$, $1 + 2 + \dots + n = \dfrac{n(n+1)}{2}$. Initialisation : $P(1)$ donne $1 = \dfrac{1 \times 2}{2} = 1$. Hérédité : on suppose $1 + \dots + n = \dfrac{n(n+1)}{2}$. Alors $1 + \dots + n + (n+1) = \dfrac{n(n+1)}{2} + (n+1) = \dfrac{(n+1)(n+2)}{2}$, ce qui est $P(n+1)$.
Piège à éviter
Les deux erreurs les plus sanctionnées au Bac : (1) oublier l'**initialisation** ; (2) ne pas utiliser l'**hypothèse de récurrence** dans l'hérédité. Vérifiez toujours que votre preuve « utilise » $P(n)$ pour arriver à $P(n+1)$.
Déterminer si une suite est **croissante** ou **décroissante** est souvent la première étape avant d'appliquer un théorème de convergence. Il y a trois méthodes selon le type de suite.
- **Méthode 1 — Signe de $u_{n+1} - u_n$ :** si $\geq 0$ pour tout $n$ $\Rightarrow$ croissante ; si $\leq 0$ $\Rightarrow$ décroissante.
- **Méthode 2 — Quotient $\dfrac{u_{n+1}}{u_n}$** (termes $> 0$) : si $\geq 1$ $\Rightarrow$ croissante ; si $\leq 1$ $\Rightarrow$ décroissante.
- **Méthode 3 :** si $u_n = f(n)$, étudier les variations de $f$ sur $[0\,;+\infty[$ à l'aide de $f'$.
- Pour une suite récurrente $u_{n+1} = f(u_n)$, on étudie le signe de $f(x) - x$ (ou on raisonne par récurrence).
- **Monotonie stricte** ($<$ ou $>$) vs **large** ($\leq$ ou $\geq$) : au Bac, la distinction est rarement cruciale.
Exemple
$u_n = \dfrac{n}{n+1}$. Méthode 1 : $u_{n+1} - u_n = \dfrac{n+1}{n+2} - \dfrac{n}{n+1} = \dfrac{1}{(n+1)(n+2)} > 0$ pour tout $n \geq 0$. Donc $(u_n)$ est strictement croissante.
Piège à éviter
La méthode du quotient ne fonctionne que si **tous les termes sont strictement positifs**. Si $u_n$ peut être nul ou négatif, utiliser la méthode de la différence.
Une suite **converge** si ses termes se rapprochent indéfiniment d'une valeur finie $\ell$. Connaître les **limites de référence** est essentiel pour le Bac — elles reviennent dans presque tous les exercices.
- **Définition :** $(u_n)$ converge vers $\ell$ si pour tout $\varepsilon > 0$, il existe un rang $N$ tel que pour tout $n \geq N$, $|u_n - \ell| < \varepsilon$.
- **Limites de référence :** $q^n \to 0$ si $|q| < 1$, et $q^n \to +\infty$ si $q > 1$.
- **Croissances comparées :** $\dfrac{\ln(n)}{n} \to 0$, $\dfrac{n^\alpha}{e^n} \to 0$, $\dfrac{\ln(n)}{n^\alpha} \to 0$ (l'exponentielle domine tout).
- **Opérations sur les limites :** somme, produit et quotient fonctionnent, sauf formes indéterminées.
- **Les 4 formes indéterminées (FI) :** $+\infty - \infty$, $0 \times \infty$, $\dfrac{\infty}{\infty}$, $\dfrac{0}{0}$.
- **Lever une FI :** factoriser par le terme dominant, encadrer, ou utiliser les croissances comparées.
Exemple
Limite de $u_n = \dfrac{2n^2 + 3n}{n^2 - 1}$. C'est une FI $\dfrac{\infty}{\infty}$. On factorise par $n^2$ : $\dfrac{2 + \frac{3}{n}}{1 - \frac{1}{n^2}} \to \dfrac{2}{1} = 2$. Au numérateur comme au dénominateur, seul le terme de plus haut degré compte.
Piège à éviter
Ne jamais écrire « $\dfrac{\infty}{\infty} = 1$ » ou « $\infty - \infty = 0$ ». Les formes indéterminées n'ont **pas** de valeur automatique : il faut les lever par un calcul.
C'est le théorème le plus utilisé au Bac pour prouver qu'une suite converge : **une suite croissante et majorée converge**. Mais attention — il ne donne pas la **valeur** de la limite.
- **Théorème :** toute suite **croissante et majorée** converge ; toute suite **décroissante et minorée** converge.
- Ce théorème prouve l'**existence** de la limite, pas sa valeur.
- **Pour trouver $\ell$ :** si $u_{n+1} = f(u_n)$ et $f$ continue, passer à la limite donne $\ell = f(\ell)$.
- **Démarche Bac complète :** (1) montrer la monotonie, (2) montrer la borne, (3) conclure par le théorème, (4) calculer $\ell$.
- **Théorème des gendarmes :** si $v_n \leq u_n \leq w_n$ et $\lim v_n = \lim w_n = \ell$, alors $\lim u_n = \ell$.
- **Suites adjacentes :** $(u_n)$ croissante, $(v_n)$ décroissante, $\lim (v_n - u_n) = 0$ $\Rightarrow$ même limite.
Exemple
Suite $u_{n+1} = \sqrt{2 + u_n}$, $u_0 = 0$. On montre par récurrence que $0 \leq u_n \leq 2$ (bornée) et que $(u_n)$ est croissante. Par le théorème, $(u_n)$ converge vers $\ell$. Puis $\ell = \sqrt{2 + \ell} \Rightarrow \ell^2 = 2 + \ell \Rightarrow \ell^2 - \ell - 2 = 0 \Rightarrow \ell = 2$ (on rejette $\ell = -1$ car $u_n \geq 0$).
Piège à éviter
Une suite **croissante non majorée** diverge vers $+\infty$ (elle ne converge pas). Le majorant est indispensable !
Quiz - Suites : Récurrence et convergence
10 questions
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Notions clés — Maths (Spé)
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Les points clés à retenir sur Suites — Récurrence et convergence, extraits du quiz de révision.
Les deux étapes d'un raisonnement par récurrence sont :
Réponse :
Initialisation et hérédité
Le raisonnement par récurrence comporte l'**initialisation** (vérifier $P(n_0)$) et l'**hérédité** (montrer $P(n) \Rightarrow P(n+1)$). Les deux étapes sont indispensables.
Pour montrer qu'une suite est croissante, on peut étudier le signe de :
Réponse :
$u_{n+1} - u_n$
Si $u_{n+1} - u_n \geq 0$ pour tout $n$, la suite est croissante. C'est la méthode la plus courante. On peut aussi étudier $\dfrac{u_{n+1}}{u_n}$ si les termes sont strictement positifs.
Le théorème de convergence monotone affirme que :
Réponse :
Toute suite croissante majorée converge
Le théorème affirme que toute suite **croissante et majorée** converge vers une limite finie, et que toute suite décroissante et minorée converge. La monotonie seule ne suffit pas.
Si $u_{n+1} = f(u_n)$ et $(u_n)$ converge vers $\ell$, alors :
Réponse :
$\ell = f(\ell)$
Si $(u_n)$ converge vers $\ell$ et que $f$ est continue, en passant à la limite dans $u_{n+1} = f(u_n)$ on obtient $\ell = f(\ell)$. La limite est donc un **point fixe** de $f$.