Maths (Spé) — Analyse
Compléments sur la dérivation — Convexité
Dérivée de compositions, convexité, point d'inflexion
Résumé synthétiqueFiche en 4 sectionsQuiz de 10 questionsGratuit, sans pub
Résumé
La dérivation se complète en Terminale par l'étude de la convexité et les dérivées de fonctions composées. La dérivée de f∘g (f composée avec g) est (f∘g)' = g' × (f'∘g). Par exemple, la dérivée de eᵘ est u'eᵘ, celle de ln(u) est u'/u. Une fonction f est convexe sur un intervalle I si sa courbe est située au-dessus de chacune de ses tangentes, ce qui équivaut à f'' ≥ 0 sur I. Elle est concave si f'' ≤ 0 (courbe sous les tangentes). Un point d'inflexion est un point où la courbe change de convexité : f'' s'annule en changeant de signe. La convexité intervient dans l'inégalité de Jensen et dans l'optimisation.
En Terminale, on dérive des fonctions plus complexes : eᵘ, ln(u), uⁿ, √u. La clé est toujours la même : identifier u(x), calculer u', puis appliquer la formule. Ce tableau est à connaître par cœur.
- Règle de la chaîne (formule générale) : si h = f∘g, alors h'(x) = g'(x) × f'(g(x))
- (eᵘ)' = u' × eᵘ — la plus fréquente au Bac, ne jamais oublier le facteur u'
- (ln u)' = u'/u — attention : u doit être strictement positif sur le domaine
- (uⁿ)' = n × u' × uⁿ⁻¹ — généralise la formule (xⁿ)' = nxⁿ⁻¹
- (√u)' = u'/(2√u) — cas particulier de uⁿ avec n = 1/2
- Méthode : (1) identifier u(x), (2) calculer u'(x), (3) appliquer la formule, (4) simplifier
Exemple
Dériver f(x) = e^(x²−3x). On pose u(x) = x²−3x, donc u'(x) = 2x−3. Formule : f'(x) = u' × eᵘ = (2x−3)e^(x²−3x).
Piège à éviter
Erreur n°1 au Bac : oublier de multiplier par u'. Par exemple, (e²ˣ)' = 2e²ˣ et PAS e²ˣ. Le facteur u' est toujours là !
La convexité décrit la « forme » de la courbe : en bol (convexe) ou en chapeau (concave). C'est la dérivée seconde f'' qui tranche — et c'est un grand classique du Bac.
- f convexe sur I ⟺ f'' ≥ 0 sur I ⟺ f' est croissante sur I
- f concave sur I ⟺ f'' ≤ 0 sur I ⟺ f' est décroissante sur I
- Interprétation graphique : convexe = courbe au-dessus de ses tangentes = « bol » (∪)
- Concave = courbe au-dessous de ses tangentes = « chapeau » (∩)
- Fonctions convexes classiques : x², eˣ, x⁴
- Fonctions concaves classiques : −x², ln(x), √x
Exemple
f(x) = x³ − 3x. f'(x) = 3x² − 3. f''(x) = 6x. f'' ≥ 0 pour x ≥ 0 (convexe) et f'' ≤ 0 pour x ≤ 0 (concave).
Piège à éviter
Ne pas confondre croissance et convexité ! f' ≥ 0 → f croissante. f'' ≥ 0 → f convexe. Ce sont deux notions différentes : une fonction peut être décroissante ET convexe (ex : eˣ sur ] −∞, 0] reste convexe bien que eˣ < 1).
Le point d'inflexion est le point où la courbe change de forme — elle passe de convexe à concave (ou inversement). C'est un point clé pour tracer une courbe au Bac.
- Définition : point où la courbe change de convexité (convexe → concave ou concave → convexe)
- Condition : f'' s'annule ET change de signe au point d'inflexion
- La tangente au point d'inflexion traverse la courbe
- Les points d'inflexion de f correspondent aux extremums de f'
- f''(a) = 0 seul ne suffit PAS — il faut vérifier le changement de signe
Exemple
f(x) = x⁴ − 6x². f''(x) = 12x² − 12 = 12(x² − 1). f'' = 0 pour x = ±1. f'' change de signe en x = −1 et x = 1 (tableau de signes). Donc deux points d'inflexion : (−1, −5) et (1, −5).
Piège à éviter
Contre-exemple : f(x) = x⁴. f''(x) = 12x². f''(0) = 0 mais f'' ne change PAS de signe (f'' ≥ 0 partout). Donc (0,0) n'est PAS un point d'inflexion malgré f''(0) = 0.
La convexité permet de démontrer des inégalités classiques. Au Bac, on vous demande souvent de prouver que eˣ ≥ 1+x ou que ln(x) ≤ x−1. Voici la méthode.
- Propriété fondamentale : si f est convexe, alors f(x) ≥ f(a) + f'(a)(x−a) pour tout x (courbe au-dessus de la tangente)
- Si f est concave, l'inégalité est inversée : f(x) ≤ f(a) + f'(a)(x−a)
- Application eˣ : tangente en 0 → y = 1+x. Comme eˣ est convexe, eˣ ≥ 1+x pour tout x ∈ ℝ
- Application ln : tangente en 1 → y = x−1. Comme ln est concave, ln(x) ≤ x−1 pour tout x > 0
- Méthode Bac : (1) calculer f'', (2) déterminer la convexité, (3) écrire l'inégalité tangentielle au bon point
- Pour l'optimisation : si f est convexe, tout minimum local est un minimum global
Exemple
Montrer que eˣ ≥ 1+x. On pose f(x) = eˣ. f''(x) = eˣ > 0 : f est convexe. La tangente en 0 : y = f(0) + f'(0)(x−0) = 1 + x. Par convexité : f(x) ≥ tangente, soit eˣ ≥ 1+x. CQFD.
Quiz - Compléments sur la dérivation et convexité
10 questions
Ce thème dans une autre classe
Notions clés — Maths (Spé)
Articles utiles
Questions fréquentes
Les points clés à retenir sur Compléments sur la dérivation — Convexité, extraits du quiz de révision.
La dérivée de e²ˣ est :
Réponse : 2e²ˣ
On utilise (eᵘ)' = u'eᵘ avec u = 2x, donc u' = 2. La dérivée est 2e²ˣ.
La dérivée de ln(x² + 1) est :
Réponse : 2x/(x²+1)
On utilise (ln u)' = u'/u avec u = x²+1, donc u' = 2x. La dérivée est 2x/(x²+1).
Une fonction f est convexe sur I si et seulement si :
Réponse : f'' ≥ 0 sur I
La caractérisation par la dérivée seconde : f convexe ⟺ f'' ≥ 0. f' ≥ 0 signifie que f est croissante (pas convexe). f'' ≥ 0 signifie que f' est croissante.
La fonction ln(x) est :
Réponse : Concave sur ]0;+∞[
(ln x)' = 1/x, (ln x)'' = −1/x² < 0 pour tout x > 0. Donc ln est concave sur ]0;+∞[. Sa courbe est au-dessous de chaque corde.