Maths (Spé) — Analyse
Compléments sur la dérivation — Convexité
Dérivée de compositions, convexité, point d'inflexion
Résumé synthétiqueFiche en 4 sectionsQuiz de 10 questionsGratuit, sans pub
Résumé
La dérivation se complète en Terminale par l'étude de la **convexité** et les **dérivées de fonctions composées**. La dérivée de $f \circ g$ est $(f \circ g)'(x) = g'(x) \times f'(g(x))$. Par exemple, la dérivée de $e^u$ est $u'\,e^u$, celle de $\ln(u)$ est $\dfrac{u'}{u}$. Une fonction $f$ est **convexe** sur un intervalle $I$ si sa courbe est située **au-dessus** de chacune de ses tangentes, ce qui équivaut à $f'' \geq 0$ sur $I$. Elle est **concave** si $f'' \leq 0$ (courbe sous les tangentes). Un **point d'inflexion** est un point où la courbe change de convexité : $f''$ s'y annule en **changeant de signe**. La convexité intervient dans la démonstration d'inégalités et dans l'optimisation.
En Terminale, on dérive des fonctions plus complexes : $e^u$, $\ln(u)$, $u^n$, $\sqrt{u}$. La clé est toujours la même : identifier $u(x)$, calculer $u'$, puis appliquer la formule. Ce tableau est à connaître par cœur.
- **Règle de la chaîne :** si $h = f \circ g$, alors $h'(x) = g'(x) \times f'(g(x))$.
- $(e^u)' = u' \times e^u$ — la plus fréquente au Bac, ne jamais oublier le facteur $u'$.
- $(\ln u)' = \dfrac{u'}{u}$ — attention : $u$ doit être strictement positif sur le domaine.
- $(u^n)' = n \times u' \times u^{n-1}$ — généralise $(x^n)' = n\,x^{n-1}$.
- $(\sqrt{u})' = \dfrac{u'}{2\sqrt{u}}$ — cas particulier de $u^n$ avec $n = \frac{1}{2}$.
- **Méthode :** (1) identifier $u(x)$, (2) calculer $u'(x)$, (3) appliquer la formule, (4) simplifier.
Exemple
Dériver $f(x) = e^{x^2 - 3x}$. On pose $u(x) = x^2 - 3x$, donc $u'(x) = 2x - 3$. Formule : $f'(x) = u' \times e^u = (2x - 3)\,e^{x^2 - 3x}$.
Piège à éviter
Erreur n°1 au Bac : oublier de multiplier par $u'$. Par exemple $(e^{2x})' = 2e^{2x}$ et **pas** $e^{2x}$. Le facteur $u'$ est toujours là !
La **convexité** décrit la « forme » de la courbe : en **bol** (convexe) ou en **chapeau** (concave). C'est la **dérivée seconde** $f''$ qui tranche — et c'est un grand classique du Bac.
- $f$ **convexe** sur $I$ $\Leftrightarrow$ $f'' \geq 0$ sur $I$ $\Leftrightarrow$ $f'$ est croissante sur $I$.
- $f$ **concave** sur $I$ $\Leftrightarrow$ $f'' \leq 0$ sur $I$ $\Leftrightarrow$ $f'$ est décroissante sur $I$.
- **Interprétation graphique :** convexe = courbe **au-dessus** de ses tangentes = « bol » ($\cup$).
- **Concave** = courbe **au-dessous** de ses tangentes = « chapeau » ($\cap$).
- **Fonctions convexes classiques :** $x^2$, $e^x$, $x^4$.
- **Fonctions concaves classiques :** $-x^2$, $\ln(x)$, $\sqrt{x}$.
Exemple
$f(x) = x^3 - 3x$. $f'(x) = 3x^2 - 3$, $f''(x) = 6x$. Donc $f'' \geq 0$ pour $x \geq 0$ (convexe) et $f'' \leq 0$ pour $x \leq 0$ (concave).
Piège à éviter
Ne pas confondre croissance et convexité ! $f' \geq 0 \Rightarrow f$ croissante ; $f'' \geq 0 \Rightarrow f$ convexe. Ce sont deux notions différentes : une fonction peut être **décroissante et convexe** (ex : $e^{-x}$ est décroissante, mais convexe car sa dérivée seconde $e^{-x} > 0$).
Le **point d'inflexion** est le point où la courbe change de forme : elle passe de convexe à concave (ou inversement). C'est un point clé pour tracer une courbe au Bac.
- **Définition :** point où la courbe change de convexité (convexe $\to$ concave, ou concave $\to$ convexe).
- **Condition :** $f''$ s'annule ET **change de signe** au point d'inflexion.
- La **tangente** au point d'inflexion traverse la courbe.
- Les points d'inflexion de $f$ correspondent aux **extremums de $f'$**.
- $f''(a) = 0$ seul ne suffit **pas** — il faut vérifier le changement de signe.
Exemple
$f(x) = x^4 - 6x^2$. $f''(x) = 12x^2 - 12 = 12(x^2 - 1)$. $f'' = 0$ pour $x = \pm 1$ et change de signe en ces points (tableau de signes). Donc deux points d'inflexion : $(-1\,;-5)$ et $(1\,;-5)$.
Piège à éviter
Contre-exemple : $f(x) = x^4$, $f''(x) = 12x^2$. On a $f''(0) = 0$ mais $f''$ ne change **pas** de signe ($f'' \geq 0$ partout). Donc $(0\,;0)$ n'est **pas** un point d'inflexion malgré $f''(0) = 0$.
La convexité permet de démontrer des **inégalités classiques**. Au Bac, on demande souvent de prouver que $e^x \geq 1 + x$ ou que $\ln(x) \leq x - 1$. Voici la méthode.
- **Propriété fondamentale :** si $f$ est convexe, alors $f(x) \geq f(a) + f'(a)(x - a)$ pour tout $x$ (courbe au-dessus de la tangente).
- Si $f$ est concave, l'inégalité est inversée : $f(x) \leq f(a) + f'(a)(x - a)$.
- **Application $e^x$ :** tangente en $0$ : $y = 1 + x$. Comme $e^x$ est convexe, $e^x \geq 1 + x$ pour tout $x \in \mathbb{R}$.
- **Application $\ln$ :** tangente en $1$ : $y = x - 1$. Comme $\ln$ est concave, $\ln(x) \leq x - 1$ pour tout $x > 0$.
- **Méthode Bac :** (1) calculer $f''$, (2) déterminer la convexité, (3) écrire l'inégalité tangentielle au bon point.
- **Pour l'optimisation :** si $f$ est convexe, tout minimum local est un minimum global.
Exemple
Montrer que $e^x \geq 1 + x$. On pose $f(x) = e^x$ ; $f''(x) = e^x > 0$, donc $f$ est convexe. La tangente en $0$ : $y = f(0) + f'(0)(x - 0) = 1 + x$. Par convexité, $f(x) \geq$ tangente, soit $e^x \geq 1 + x$. CQFD.
Quiz - Compléments sur la dérivation et convexité
10 questions
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Notions clés — Maths (Spé)
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Questions fréquentes
Les points clés à retenir sur Compléments sur la dérivation — Convexité, extraits du quiz de révision.
La dérivée de $e^{2x}$ est :
Réponse :
$2e^{2x}$
On utilise $(e^u)' = u'\,e^u$ avec $u = 2x$, donc $u' = 2$. La dérivée est $2e^{2x}$.
La dérivée de $\ln(x^2 + 1)$ est :
Réponse :
$\dfrac{2x}{x^2+1}$
On utilise $(\ln u)' = \dfrac{u'}{u}$ avec $u = x^2 + 1$, donc $u' = 2x$. La dérivée est $\dfrac{2x}{x^2+1}$.
Une fonction $f$ est convexe sur $I$ si et seulement si :
Réponse :
$f'' \geq 0$ sur $I$
La caractérisation par la dérivée seconde : $f$ convexe $\Leftrightarrow f'' \geq 0$. $f' \geq 0$ signifie que $f$ est croissante (pas convexe). $f'' \geq 0$ signifie que $f'$ est croissante.
La fonction $\ln(x)$ est :
Réponse :
Concave sur $]0\,;+\infty[$
$(\ln x)' = \dfrac{1}{x}$ et $(\ln x)'' = -\dfrac{1}{x^2} < 0$ pour tout $x > 0$. Donc $\ln$ est concave sur $]0\,;+\infty[$ : sa courbe est au-dessous de chacune de ses tangentes.