Maths (Spé) — Géométrie
Orthogonalité dans l'espace
Produit scalaire, vecteur normal, équation de plan, projeté orthogonal
Résumé synthétiqueFiche en 4 sectionsQuiz de 10 questionsGratuit, sans pub
Résumé
L'orthogonalité dans l'espace étend les notions du plan à trois dimensions. Le produit scalaire de deux vecteurs u⃗(x,y,z) et v⃗(x',y',z') est u⃗·v⃗ = xx'+yy'+zz'. Deux vecteurs sont orthogonaux si et seulement si leur produit scalaire est nul. Un vecteur normal n⃗ à un plan P est un vecteur non nul perpendiculaire à tout vecteur de P. L'équation cartésienne d'un plan de vecteur normal n⃗(a,b,c) passant par A(x₀,y₀,z₀) est a(x−x₀)+b(y−y₀)+c(z−z₀) = 0, soit ax+by+cz+d = 0. Le projeté orthogonal d'un point M sur un plan P est le point H de P tel que MH⃗ est normal à P. La distance d'un point à un plan se calcule par |ax₀+by₀+cz₀+d|/√(a²+b²+c²).
Le produit scalaire est l'outil fondamental de la géométrie dans l'espace en Terminale. Il permet de calculer des angles, des normes et surtout de tester l'orthogonalité — c'est le fil rouge de tout ce chapitre.
- Formule avec coordonnées : u⃗(x,y,z)·v⃗(x',y',z') = xx' + yy' + zz'
- Norme : ||u⃗|| = √(x²+y²+z²) — c'est le théorème de Pythagore en 3D
- Formule avec angle : u⃗·v⃗ = ||u⃗|| × ||v⃗|| × cos(u⃗,v⃗)
- Propriétés : commutativité, bilinéarité, u⃗·u⃗ = ||u⃗||² ≥ 0
- Critère d'orthogonalité : u⃗ ⊥ v⃗ ⟺ u⃗·v⃗ = 0 — c'est la propriété la plus utilisée au Bac
- Distance entre deux points : AB = ||AB⃗|| = √[(xB−xA)² + (yB−yA)² + (zB−zA)²]
Exemple
u⃗(1,2,−1) et v⃗(3,−1,1). Produit scalaire : 1×3 + 2×(−1) + (−1)×1 = 3 − 2 − 1 = 0. Conclusion : u⃗ et v⃗ sont orthogonaux.
Piège à éviter
Ne pas confondre produit scalaire (donne un nombre) et produit vectoriel (donne un vecteur, hors programme). Le produit scalaire nul ≠ vecteurs nuls, cela signifie qu'ils sont perpendiculaires.
Un plan dans l'espace est entièrement déterminé par un point et un vecteur normal. C'est cette idée qui permet d'écrire l'équation cartésienne d'un plan — une compétence incontournable au Bac.
- Vecteur normal n⃗ : vecteur non nul perpendiculaire à tous les vecteurs du plan
- Équation : si n⃗(a,b,c) normal à P passant par A(x₀,y₀,z₀) → a(x−x₀)+b(y−y₀)+c(z−z₀) = 0
- Forme développée : ax+by+cz+d = 0 avec d = −ax₀−by₀−cz₀
- Lecture inverse : dans ax+by+cz+d = 0, on lit directement n⃗(a,b,c)
- Un plan peut aussi être défini par un point + deux vecteurs directeurs non colinéaires
- Méthode Bac : toujours commencer par identifier le vecteur normal et un point du plan
Exemple
Plan passant par A(1,0,2) de vecteur normal n⃗(2,−1,3). Équation : 2(x−1) − 1(y−0) + 3(z−2) = 0 → 2x − y + 3z − 8 = 0. Vérification : 2(1) − 0 + 3(2) − 8 = 2+6−8 = 0 ✓
Au Bac, on vous demande souvent de déterminer si des droites/plans sont parallèles, perpendiculaires ou sécants. Tout repose sur les vecteurs directeurs et normaux.
- Droite ⊥ plan : le vecteur directeur de la droite est colinéaire au vecteur normal du plan
- Droite // plan : le vecteur directeur est orthogonal au vecteur normal (u⃗·n⃗ = 0)
- Deux plans parallèles : leurs vecteurs normaux sont colinéaires (n⃗₁ = λn⃗₂)
- Deux plans perpendiculaires : leurs vecteurs normaux sont orthogonaux (n⃗₁·n⃗₂ = 0)
- Plan médiateur de [AB] : perpendiculaire à AB⃗ et passant par le milieu I de [AB]
- Caractérisation du plan médiateur : M ∈ plan médiateur ⟺ MA = MB
Exemple
La droite de vecteur directeur u⃗(2,−1,3) est-elle perpendiculaire au plan 2x−y+3z = 5 ? Le vecteur normal du plan est n⃗(2,−1,3). u⃗ = n⃗ → colinéaires → oui, la droite est perpendiculaire au plan.
Piège à éviter
Attention au piège : droite parallèle au plan ≠ droite dans le plan. Si u⃗·n⃗ = 0, la droite est parallèle au plan OU contenue dedans. Pour trancher, vérifier si un point de la droite satisfait l'équation du plan.
Le projeté orthogonal et la formule de distance sont des outils de fin de chapitre très fréquents en exercice Bac. La distance utilise une formule directe — pas besoin de trouver H si on veut juste la distance.
- Projeté orthogonal H de M sur P : c'est le point de P le plus proche de M
- MH⃗ est colinéaire au vecteur normal : H est sur la droite passant par M de direction n⃗
- Méthode pour trouver H : paramétrer M + tn⃗, substituer dans l'équation du plan, résoudre en t
- Formule de distance : d(M,P) = |ax₀+by₀+cz₀+d| / √(a²+b²+c²)
- Cette formule donne directement la distance sans calculer H — très efficace au Bac
- Le projeté minimise la distance : pour tout point A du plan, MH ≤ MA
Exemple
Distance de M(1,2,3) au plan 2x−y+2z−1 = 0. d = |2(1)−1(2)+2(3)−1| / √(4+1+4) = |2−2+6−1| / 3 = 5/3.
Piège à éviter
Dans la formule de distance, l'équation du plan doit être sous la forme ax+by+cz+d = 0 (tout d'un côté). Si l'équation est 2x−y+z = 5, réécrire 2x−y+z−5 = 0 avant d'appliquer.
Quiz - Orthogonalité dans l'espace
10 questions
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Notions clés — Maths (Spé)
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Questions fréquentes
Les points clés à retenir sur Orthogonalité dans l'espace, extraits du quiz de révision.
Le produit scalaire de u⃗(1,2,3) et v⃗(2,−1,0) vaut :
Réponse : 0
u⃗·v⃗ = 1×2 + 2×(−1) + 3×0 = 2 − 2 + 0 = 0. Les vecteurs sont orthogonaux.
La norme du vecteur u⃗(3,4,0) est :
Réponse : 5
||u⃗|| = √(3²+4²+0²) = √(9+16) = √25 = 5. C'est la généralisation du théorème de Pythagore en 3D.
Dans l'équation de plan 3x − 2y + z − 5 = 0, un vecteur normal est :
Réponse : (3, −2, 1)
Dans ax+by+cz+d = 0, le vecteur normal est n⃗(a,b,c). Ici a=3, b=−2, c=1, donc n⃗(3,−2,1). Le coefficient d ne fait pas partie du vecteur normal.
Deux plans sont perpendiculaires si :
Réponse : Leurs vecteurs normaux sont orthogonaux
Deux plans sont perpendiculaires si et seulement si leurs vecteurs normaux sont orthogonaux (produit scalaire nul). S'ils sont colinéaires, les plans sont parallèles.