Maths (Spé) — Géométrie
Représentations paramétriques
Droites dans l'espace, représentations paramétriques, intersections
Résumé synthétiqueFiche en 4 sectionsQuiz de 10 questionsGratuit, sans pub
Résumé
Une **représentation paramétrique** décrit une droite ou une courbe à l'aide d'un **paramètre** $t$. Dans l'espace, une droite passant par $A(x_0,y_0,z_0)$ et de vecteur directeur $\vec{u}(a,b,c)$ a pour représentation paramétrique $x = x_0 + at$, $y = y_0 + bt$, $z = z_0 + ct$ (avec $t \in \mathbb{R}$). Chaque valeur de $t$ donne un point de la droite. Dans le plan, on retrouve les droites paramétriques $x = x_0 + at$, $y = y_0 + bt$. Pour déterminer si un point appartient à une droite, on vérifie s'il existe un $t$ satisfaisant les trois équations. L'**intersection de deux droites** se trouve en résolvant le système obtenu en égalant leurs représentations. L'**intersection d'une droite et d'un plan** se trouve en substituant la représentation paramétrique dans l'équation du plan.
Dans l'espace, on ne peut pas écrire $y = ax + b$ pour une droite. On utilise un **paramètre** $t$ qui « parcourt » la droite : chaque valeur de $t$ donne un point. C'est la **représentation paramétrique**.
- **Formule :** droite par $A(x_0,y_0,z_0)$ de direction $\vec{u}(a,b,c)$ : $x = x_0 + at$, $y = y_0 + bt$, $z = z_0 + ct$, avec $t \in \mathbb{R}$.
- $t = 0 \to$ point $A$ ; $t = 1 \to$ point $A + \vec{u}$ ; $t$ parcourt $\mathbb{R}$ entier $=$ toute la droite.
- Le vecteur directeur n'est **pas unique** : tout vecteur colinéaire ($\lambda \vec{u}$) définit la même droite.
- Dans le plan (2D), même principe : $x = x_0 + at$, $y = y_0 + bt$.
- Une droite est aussi définie par deux points $A$ et $B$ : vecteur directeur $\overrightarrow{AB}$, puis on paramètre.
- On peut lire une représentation paramétrique comme : « point de départ $+\ t \times$ direction ».
Exemple
Droite passant par $A(1,2,3)$ de direction $\vec{u}(2,-1,1)$ : $x = 1 + 2t$, $y = 2 - t$, $z = 3 + t$. Pour $t = 0$ : point $(1,2,3) = A$. Pour $t = 2$ : point $(5,0,5)$.
Piège à éviter
La représentation paramétrique d'une droite n'est **pas unique** ! On peut changer le point de départ ou le vecteur directeur (n'importe quel point de la droite et n'importe quel vecteur colinéaire).
Les exercices du Bac demandent souvent : « Ce point est-il sur cette droite ? » ou « Ces deux droites sont-elles sécantes ? ». Tout se fait par **substitution** et **résolution de systèmes**.
- **Appartenance :** $M(x_1,y_1,z_1) \in$ droite ? On résout les 3 équations en $t$ et on vérifie que c'est le **même** $t$.
- **Droites parallèles :** vecteurs directeurs colinéaires ($\vec{u_1} = \lambda \vec{u_2}$).
- **Droites confondues :** parallèles + un point commun.
- **Droites sécantes :** non parallèles + un point commun (le système en $t$ et $s$ a une solution).
- **Droites gauches :** ni parallèles, ni sécantes — elles ne sont pas dans le même plan (cas propre à l'espace 3D).
- Attention : en 2D, deux droites non parallèles sont **toujours** sécantes. En 3D, **pas forcément** !
Exemple
$M(3,1,4)$ est-il sur la droite $x = 1 + 2t$, $y = 2 - t$, $z = 3 + t$ ? Pour $x$ : $3 = 1 + 2t \Rightarrow t = 1$. Pour $y$ : $1 = 2 - t \Rightarrow t = 1$. Pour $z$ : $4 = 3 + t \Rightarrow t = 1$. Même $t = 1$ partout : oui, $M$ appartient à la droite.
Piège à éviter
Quand on cherche l'intersection de deux droites, utiliser des lettres **différentes** pour les paramètres ($t$ et $s$). Avec le même $t$ pour les deux, on force les points à avoir le même paramètre, ce qui est faux.
C'est l'exercice type du Bac : on **substitue** les expressions paramétriques dans l'équation du plan et on regarde ce qui se passe. Il y a exactement **3 cas** possibles.
- **Méthode :** remplacer $x$, $y$, $z$ par leurs expressions en $t$ dans $ax + by + cz + d = 0$.
- On obtient une équation en $t$. Trois issues possibles :
- **Cas 1 :** une solution unique en $t$ $\Rightarrow$ la droite coupe le plan en un seul point (sécantes).
- **Cas 2 :** équation impossible (ex : $0 = 5$) $\Rightarrow$ la droite est parallèle au plan, sans intersection.
- **Cas 3 :** équation toujours vraie ($0 = 0$) $\Rightarrow$ la droite est entièrement contenue dans le plan.
- Une fois $t$ trouvé (cas 1), le substituer dans la paramétrique pour obtenir les coordonnées du point.
Exemple
Droite $d$ : $x = 1 + t$, $y = 2 - t$, $z = 3 + 2t$. Plan $P$ : $x + y + z - 6 = 0$. Substitution : $(1 + t) + (2 - t) + (3 + 2t) - 6 = 0 \Rightarrow 2t = 0 \Rightarrow t = 0$. Point d'intersection : $(1,2,3)$.
Piège à éviter
Si on trouve $t = 0$, cela ne veut **pas** dire « pas de solution » : cela signifie que le point d'intersection est le point $A$ (celui de la paramétrique). C'est un résultat valide.
Pour l'intersection de deux droites dans l'espace, on obtient un système de **3 équations à 2 inconnues**. Si le système est compatible $\Rightarrow$ sécantes ; sinon $\Rightarrow$ gauches.
- Paramétrer les deux droites avec des paramètres différents : $d_1(t)$ et $d_2(s)$.
- **Égaler :** $x_1(t) = x_2(s)$, $y_1(t) = y_2(s)$, $z_1(t) = z_2(s)$ $\Rightarrow$ 3 équations, 2 inconnues.
- Résoudre les 2 premières équations, puis vérifier la solution dans la 3ᵉ.
- Si la 3ᵉ est vérifiée $\Rightarrow$ les droites sont **sécantes** ; sinon $\Rightarrow$ elles sont **gauches**.
- **Projeté orthogonal de $M$ sur un plan :** construire la droite par $M$ de direction $\vec{n}$ (vecteur normal), puis trouver son intersection avec le plan.
- C'est la combinaison des deux chapitres : paramétrique + orthogonalité.
Exemple
$d_1$ : $x = 1 + t$, $y = 2 + t$, $z = 3 - t$. $d_2$ : $x = 2 + s$, $y = 1 + 3s$, $z = 2 - s$. On égale les deux premières : $1 + t = 2 + s$ et $2 + t = 1 + 3s$, d'où $t = 2$ et $s = 1$. Vérification dans la 3ᵉ : $3 - 2 = 2 - 1 \Rightarrow 1 = 1$. Les droites sont sécantes au point $(3,4,1)$.
Piège à éviter
Si les deux premières équations donnent $t$ et $s$ mais que la 3ᵉ n'est **pas** vérifiée, les droites sont **gauches** (pas dans le même plan). C'est un cas qui n'existe qu'en 3D.
Quiz - Représentations paramétriques
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Notions clés — Maths (Spé)
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Questions fréquentes
Les points clés à retenir sur Représentations paramétriques, extraits du quiz de révision.
La représentation paramétrique d'une droite passant par $A(1,0,2)$ de direction $\vec{u}(3,-1,2)$ est :
Réponse :
$x = 1 + 3t,\ y = -t,\ z = 2 + 2t$
La formule est $x = x_0 + at$, $y = y_0 + bt$, $z = z_0 + ct$. Avec $A(1,0,2)$ et $\vec{u}(3,-1,2)$ : $x = 1 + 3t$, $y = 0 + (-1)t = -t$, $z = 2 + 2t$.
Pour $t = 0$, la représentation paramétrique donne :
Réponse :
Le point $A$ par lequel passe la droite
Pour $t = 0$ : $x = x_0$, $y = y_0$, $z = z_0$, ce qui donne le point $A$. C'est le point de référence de la définition.
Le point $M(5,-2,6)$ appartient-il à la droite $x = 1 + 2t$, $y = -t + 1$, $z = 2 + 2t$ ?
Réponse :
Non
$x = 5 \Rightarrow 1 + 2t = 5 \Rightarrow t = 2$. $y = -2 \Rightarrow -t + 1 = -2 \Rightarrow t = 3$. Les valeurs de $t$ ne coïncident pas ($t = 2$ pour $x$ mais $t = 3$ pour $y$), donc $M$ n'appartient pas à la droite.
Deux droites de l'espace non parallèles et non sécantes sont dites :
Réponse :
Gauches
Dans l'espace (contrairement au plan), deux droites peuvent ne pas se couper sans être parallèles : elles sont alors dites **gauches**. Ce cas n'existe pas en 2D.