L'équation x = 5 représente :

Une droite verticale. L'équation x = 5 signifie que l'abscisse vaut toujours 5, quelle que soit l'ordonnée y. C'est une droite verticale passant par (5 ; 0). Ne pas confondre avec y = 5 qui est une droite horizontale.

Trouver l'équation de la droite de pente 2 passant par A(1 ; 5) :

y = 2x + 3. On a a = 2 et le point A(1 ; 5). On calcule b : y = ax + b → 5 = 2 × 1 + b → b = 5 − 2 = 3. L'équation est y = 2x + 3. Vérification : pour x = 1, y = 2(1) + 3 = 5, correct.

Le point d'intersection de y = x + 1 et y = −x + 5 est :

(2 ; 3). On résout x + 1 = −x + 5 → 2x = 4 → x = 2. Puis y = 2 + 1 = 3. Le point d'intersection est (2 ; 3). Vérification dans la 2e équation : y = −2 + 5 = 3, c'est cohérent.

Une droite de coefficient directeur positif est :

Croissante. Si a > 0, quand x augmente, y augmente aussi (y = ax + b avec a > 0). La droite monte de gauche à droite : elle est croissante. Si a < 0, elle serait décroissante. Si a = 0, elle serait horizontale.

Le point (3 ; 11) appartient-il à la droite y = 4x − 1 ?

Oui. On remplace x = 3 dans l'équation : y = 4 × 3 − 1 = 12 − 1 = 11. On obtient bien y = 11, qui correspond à l'ordonnée du point. Donc le point (3 ; 11) appartient à la droite.

Deux droites sécantes ont :

Des coefficients directeurs différents. Deux droites (non verticales) sont sécantes si et seulement si elles ont des coefficients directeurs différents (a₁ ≠ a₂). Elles se coupent alors en exactement un point. Si a₁ = a₂, elles sont parallèles (0 ou infinité de points communs).

Mathématiques — Géométrie

Équations de droites

Q: Le coefficient directeur de y = −4x + 7 est :

−4. Dans l'équation réduite y = ax + b, le coefficient directeur est a. Ici a = −4 (la droite descend de 4 unités quand x augmente de 1). Le nombre 7 est l'ordonnée à l'origine b.

Q: L'ordonnée à l'origine de y = 3x − 5 est :

−5. L'ordonnée à l'origine b est la valeur de y quand x = 0. f(0) = 3 × 0 − 5 = −5. C'est le point (0 ; −5) où la droite coupe l'axe des ordonnées. Dans y = ax + b, b est le terme constant.

Q: Le coefficient directeur de la droite passant par A(2 ; 1) et B(5 ; 7) est :

2. a = (yB − yA)/(xB − xA) = (7 − 1)/(5 − 2) = 6/3 = 2. Quand x augmente de 1, y augmente de 2. On peut vérifier : de A à B, x augmente de 3 et y augmente de 6, soit bien 6/3 = 2 par unité.

Q: Les droites y = 3x + 1 et y = 3x − 4 sont :

Parallèles non confondues. Les deux droites ont le même coefficient directeur a = 3, donc elles sont parallèles. Mais b₁ = 1 ≠ b₂ = −4, donc elles ne sont pas confondues. Elles sont parallèles distinctes : elles ne se coupent jamais.

Q: Le point (3 ; 11) appartient-il à la droite y = 4x − 1 ?

Oui. On remplace x = 3 dans l'équation : y = 4 × 3 − 1 = 12 − 1 = 11. On obtient bien y = 11, qui correspond à l'ordonnée du point. Donc le point (3 ; 11) appartient à la droite.

Q: Deux droites sécantes ont :

Des coefficients directeurs différents. Deux droites (non verticales) sont sécantes si et seulement si elles ont des coefficients directeurs différents (a₁ ≠ a₂). Elles se coupent alors en exactement un point. Si a₁ = a₂, elles sont parallèles (0 ou infinité de points communs).

Équation y = ax + b, coefficient directeur, droites parallèles et sécantes

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Résumé

Dans un repère, toute droite non verticale a une équation de la forme y = ax + b, où a est le coefficient directeur (la pente) et b l'ordonnée à l'origine (le point où la droite coupe l'axe des ordonnées). Le coefficient directeur a se calcule entre deux points A(xA ; yA) et B(xB ; yB) par la formule a = (yB − yA)/(xB − xA). Si a > 0, la droite monte ; si a < 0, elle descend ; si a = 0, elle est horizontale. Une droite verticale a une équation de la forme x = c (elle n'a pas de coefficient directeur). Deux droites sont parallèles si et seulement si elles ont le même coefficient directeur. Deux droites sont sécantes si elles ont des coefficients directeurs différents, et leur point d'intersection se trouve en résolvant le système des deux équations. Ces notions sont fondamentales pour modéliser des situations concrètes : coût en fonction de la quantité, position en fonction du temps.

Thème complet

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Questions fréquentes

Les points clés à retenir sur Équations de droites, extraits du quiz de révision.

Le coefficient directeur de y = −4x + 7 est :

Réponse : −4

Dans l'équation réduite y = ax + b, le coefficient directeur est a. Ici a = −4 (la droite descend de 4 unités quand x augmente de 1). Le nombre 7 est l'ordonnée à l'origine b.

L'ordonnée à l'origine de y = 3x − 5 est :

Réponse : −5

L'ordonnée à l'origine b est la valeur de y quand x = 0. f(0) = 3 × 0 − 5 = −5. C'est le point (0 ; −5) où la droite coupe l'axe des ordonnées. Dans y = ax + b, b est le terme constant.

Le coefficient directeur de la droite passant par A(2 ; 1) et B(5 ; 7) est :

Réponse : 2

a = (yB − yA)/(xB − xA) = (7 − 1)/(5 − 2) = 6/3 = 2. Quand x augmente de 1, y augmente de 2. On peut vérifier : de A à B, x augmente de 3 et y augmente de 6, soit bien 6/3 = 2 par unité.

Les droites y = 3x + 1 et y = 3x − 4 sont :

Réponse : Parallèles non confondues

Les deux droites ont le même coefficient directeur a = 3, donc elles sont parallèles. Mais b₁ = 1 ≠ b₂ = −4, donc elles ne sont pas confondues. Elles sont parallèles distinctes : elles ne se coupent jamais.

Résumé

Questions fréquentes

Les points clés à retenir sur Équations de droites, extraits du quiz de révision.

Le coefficient directeur de y = −4x + 7 est :

Réponse : −4

Dans l'équation réduite y = ax + b, le coefficient directeur est a. Ici a = −4 (la droite descend de 4 unités quand x augmente de 1). Le nombre 7 est l'ordonnée à l'origine b.

L'ordonnée à l'origine de y = 3x − 5 est :

Réponse : −5

L'ordonnée à l'origine b est la valeur de y quand x = 0. f(0) = 3 × 0 − 5 = −5. C'est le point (0 ; −5) où la droite coupe l'axe des ordonnées. Dans y = ax + b, b est le terme constant.

Le coefficient directeur de la droite passant par A(2 ; 1) et B(5 ; 7) est :

Réponse : 2

a = (yB − yA)/(xB − xA) = (7 − 1)/(5 − 2) = 6/3 = 2. Quand x augmente de 1, y augmente de 2. On peut vérifier : de A à B, x augmente de 3 et y augmente de 6, soit bien 6/3 = 2 par unité.

Les droites y = 3x + 1 et y = 3x − 4 sont :

Réponse : Parallèles non confondues

Équations de droites

Résumé

Équation réduite d'une droite

Calcul du coefficient directeur

Déterminer l'équation d'une droite

Droites parallèles et sécantes

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