f est croissante sur [0 ; 3] et f(0) = −2, f(3) = 5. Combien vaut f(1) ?

On ne peut pas le savoir exactement

Si f est croissante sur [1 ; 5], on peut affirmer que :

f(3) < f(4). f croissante sur [1 ; 5] signifie que l'ordre est conservé. Comme 3 < 4 (et les deux sont dans [1 ; 5]), on a f(3) ≤ f(4). Si f est strictement croissante, alors f(3) < f(4).

Un maximum local apparaît dans le tableau de variations quand :

On passe de ↗ à ↘. Un maximum local correspond au sommet d'une bosse : la fonction monte (↗) puis redescend (↘). Dans le tableau, la valeur au point de transition ↗ puis ↘ est le maximum local. L'inverse (↘ puis ↗) donne un minimum local.

La fonction f(x) = 3 (constante) sur R est :

Croissante ET décroissante. Une fonction constante vérifie f(a) = f(b) pour tous a, b. Donc f(a) ≤ f(b) (croissante au sens large) ET f(a) ≥ f(b) (décroissante au sens large). Elle est à la fois croissante et décroissante, mais ni strictement croissante ni strictement décroissante.

f est définie sur [−2 ; 4], décroissante sur [−2 ; 1] et croissante sur [1 ; 4]. f admet en x = 1 :

Un minimum. La fonction décroît puis croît au point x = 1 : c'est le passage d'une flèche ↘ à une flèche ↗ dans le tableau de variations. Cela correspond à un creux, donc un minimum local. La valeur f(1) est la plus petite valeur de f sur [−2 ; 4].

f est croissante sur [0 ; 3] et f(0) = −2, f(3) = 5. Combien vaut f(1) ?

On ne peut pas le savoir exactement. On sait seulement que f est croissante et que f(0) = −2 et f(3) = 5. Donc f(1) est compris entre −2 et 5, mais sa valeur exacte dépend de la fonction. Par exemple, f(1) = 0 si f est affine, mais ce n'est pas la seule possibilité.

« f(x) > 0 sur [1 ; 3] » signifie que f est :

Positive sur [1 ; 3]. f(x) > 0 signifie que les valeurs de f sont strictement positives : la courbe est au-dessus de l'axe des abscisses sur [1 ; 3]. Cela ne dit rien sur la croissance : f peut être positive et décroissante (ex : f(x) = −x + 5 sur [1 ; 3]).

Mathématiques — Fonctions

Variations et extremums d'une fonction

Q: f est croissante sur [2 ; 7] signifie que :

f(2) ≤ f(7). Si f est croissante sur [2 ; 7], alors pour a < b dans cet intervalle, f(a) ≤ f(b). En particulier, comme 2 < 7, on a f(2) ≤ f(7). La croissance conserve l'ordre des antécédents.

Q: La fonction f(x) = x² admet un minimum de :

0 en x = 0. La fonction x² est toujours positive ou nulle (x² ≥ 0 pour tout x), et elle vaut 0 quand x = 0. Comme x² ≥ 0 = f(0) pour tout x, le minimum global est 0, atteint en x = 0. C'est le creux de la parabole.

Q: Dans un tableau de variations, une flèche ↘ indique que f est :

Décroissante. Une flèche descendante (↘) dans le tableau de variations signifie que la fonction est décroissante sur l'intervalle correspondant : quand x augmente, f(x) diminue. La courbe descend de gauche à droite.

Q: f est décroissante sur [−3 ; 1] avec f(−3) = 8 et f(1) = 2. Le maximum de f sur cet intervalle est :

8. Comme f est décroissante sur [−3 ; 1], les plus grandes valeurs sont atteintes au début de l'intervalle. Le maximum est donc f(−3) = 8. Attention : le maximum est une valeur de f (ordonnée), pas une valeur de x (abscisse).

Q: Si f est croissante sur [1 ; 5], on peut affirmer que :

f(3) < f(4). f croissante sur [1 ; 5] signifie que l'ordre est conservé. Comme 3 < 4 (et les deux sont dans [1 ; 5]), on a f(3) ≤ f(4). Si f est strictement croissante, alors f(3) < f(4).

Q: Un maximum local apparaît dans le tableau de variations quand :

On passe de ↗ à ↘. Un maximum local correspond au sommet d'une bosse : la fonction monte (↗) puis redescend (↘). Dans le tableau, la valeur au point de transition ↗ puis ↘ est le maximum local. L'inverse (↘ puis ↗) donne un minimum local.

Q: La fonction f(x) = 3 (constante) sur R est :

Croissante ET décroissante. Une fonction constante vérifie f(a) = f(b) pour tous a, b. Donc f(a) ≤ f(b) (croissante au sens large) ET f(a) ≥ f(b) (décroissante au sens large). Elle est à la fois croissante et décroissante, mais ni strictement croissante ni strictement décroissante.

Q: f est définie sur [−2 ; 4], décroissante sur [−2 ; 1] et croissante sur [1 ; 4]. f admet en x = 1 :

Un minimum. La fonction décroît puis croît au point x = 1 : c'est le passage d'une flèche ↘ à une flèche ↗ dans le tableau de variations. Cela correspond à un creux, donc un minimum local. La valeur f(1) est la plus petite valeur de f sur [−2 ; 4].

Q: f est croissante sur [0 ; 3] et f(0) = −2, f(3) = 5. Combien vaut f(1) ?

On ne peut pas le savoir exactement. On sait seulement que f est croissante et que f(0) = −2 et f(3) = 5. Donc f(1) est compris entre −2 et 5, mais sa valeur exacte dépend de la fonction. Par exemple, f(1) = 0 si f est affine, mais ce n'est pas la seule possibilité.

Croissance, décroissance, tableau de variations, maximum et minimum

Résumé synthétiqueFiche en 5 sectionsQuiz de 10 questionsGratuit, sans pub

Résumé

Étudier les variations d'une fonction, c'est déterminer sur quels intervalles elle est croissante (sa courbe monte) ou décroissante (sa courbe descend). On dit que f est croissante sur un intervalle I si, pour tous a et b dans I avec a < b, on a f(a) ≤ f(b) : quand x augmente, f(x) augmente aussi. Le tableau de variations résume cette information de façon compacte : on y note les intervalles de croissance (flèches montantes) et de décroissance (flèches descendantes), ainsi que les valeurs remarquables. Un maximum local est la plus grande valeur atteinte par f sur un intervalle, il apparaît au sommet d'une « bosse ». Un minimum local est la plus petite valeur, au creux d'un « creux ». Par exemple, la fonction carrée x² a un minimum global en x = 0 : elle décroît sur ]−∞ ; 0] puis croît sur [0 ; +∞[, et son minimum vaut f(0) = 0.

Thème complet

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Questions fréquentes

Les points clés à retenir sur Variations et extremums d'une fonction, extraits du quiz de révision.

f est croissante sur [2 ; 7] signifie que :

Réponse : f(2) ≤ f(7)

Si f est croissante sur [2 ; 7], alors pour a < b dans cet intervalle, f(a) ≤ f(b). En particulier, comme 2 < 7, on a f(2) ≤ f(7). La croissance conserve l'ordre des antécédents.

La fonction f(x) = x² admet un minimum de :

Réponse : 0 en x = 0

La fonction x² est toujours positive ou nulle (x² ≥ 0 pour tout x), et elle vaut 0 quand x = 0. Comme x² ≥ 0 = f(0) pour tout x, le minimum global est 0, atteint en x = 0. C'est le creux de la parabole.

Dans un tableau de variations, une flèche ↘ indique que f est :

Réponse : Décroissante

Une flèche descendante (↘) dans le tableau de variations signifie que la fonction est décroissante sur l'intervalle correspondant : quand x augmente, f(x) diminue. La courbe descend de gauche à droite.

f est décroissante sur [−3 ; 1] avec f(−3) = 8 et f(1) = 2. Le maximum de f sur cet intervalle est :

Réponse : 8

Comme f est décroissante sur [−3 ; 1], les plus grandes valeurs sont atteintes au début de l'intervalle. Le maximum est donc f(−3) = 8. Attention : le maximum est une valeur de f (ordonnée), pas une valeur de x (abscisse).

Résumé

Questions fréquentes

Les points clés à retenir sur Variations et extremums d'une fonction, extraits du quiz de révision.

f est croissante sur [2 ; 7] signifie que :

Réponse : f(2) ≤ f(7)

Si f est croissante sur [2 ; 7], alors pour a < b dans cet intervalle, f(a) ≤ f(b). En particulier, comme 2 < 7, on a f(2) ≤ f(7). La croissance conserve l'ordre des antécédents.

La fonction f(x) = x² admet un minimum de :

Réponse : 0 en x = 0

Dans un tableau de variations, une flèche ↘ indique que f est :

Réponse : Décroissante

f est décroissante sur [−3 ; 1] avec f(−3) = 8 et f(1) = 2. Le maximum de f sur cet intervalle est :

Réponse : 8

Variations et extremums d'une fonction

Résumé

Croissance et décroissance

Le tableau de variations

Maximum et minimum

Lecture graphique des variations

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Quiz - Variations et extremums

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