Mathématiques — Analyse
Dérivation et applications
Nombre dérivé, tangente, fonction dérivée, variations
Résumé synthétiqueFiche en 5 sectionsQuiz de 10 questionsGratuit, sans pub
Résumé
La dérivation est sans doute l'outil le plus puissant du lycée : elle transforme une question de **pente** en un calcul. Le **nombre dérivé** $f'(a)$ donne le coefficient directeur de la **tangente** à la courbe au point d'abscisse $a$ — la droite qui « épouse » la courbe à cet endroit. En faisant varier $a$, on obtient la **fonction dérivée** $f'$, que l'on calcule grâce à quelques formules de référence — $(x^n)' = nx^{n-1}$, $\left(\dfrac{1}{x}\right)' = -\dfrac{1}{x^2}$, $(\sqrt{x})' = \dfrac{1}{2\sqrt{x}}$ — et aux règles de somme, de produit et de multiple. Surtout, le **signe** de $f'$ révèle les **variations** de $f$ : positif, $f$ monte ; négatif, $f$ descend ; et là où $f'$ s'annule en changeant de signe, $f$ atteint un **extremum**.
Le **nombre dérivé** $f'(a)$ mesure la **pente locale** de la courbe au point d'abscisse $a$. On l'obtient comme limite du taux d'accroissement quand l'écart $h$ tend vers $0$ : les sécantes se rapprochent alors d'une droite limite, la **tangente**. Le nombre dérivé est exactement le coefficient directeur de cette tangente.
- **Définition :** $f'(a) = \displaystyle\lim_{h \to 0} \dfrac{f(a+h) - f(a)}{h}$, limite du taux d'accroissement.
- $f'(a)$ est le **coefficient directeur** de la tangente à $\mathcal{C}_f$ au point d'abscisse $a$.
- **Équation de la tangente :** $y = f'(a)(x - a) + f(a)$.
- Cette tangente passe par le point $A\,(a\,;f(a))$ de la courbe.
- Si $f'(a) > 0$ la tangente monte, si $f'(a) < 0$ elle descend, si $f'(a) = 0$ elle est horizontale.
Exemple
Soit $f(x) = x^2$ et $a = 3$. Le nombre dérivé vaut $f'(3) = 6$ (car $f'(x) = 2x$). La tangente en $A\,(3\,;9)$ a pour équation $y = 6(x - 3) + 9 = 6x - 9$.
Piège à éviter
La tangente n'est **pas** la courbe : elle ne fait que la longer au voisinage de $A$. Et $f'(a)$ est un **nombre** (la pente en un point), tandis que $f'$ est une **fonction** — ne confonds pas les deux.
En calculant $f'(a)$ pour **tout** $a$, on définit la **fonction dérivée** $f'$. Plutôt que de repasser par la limite à chaque fois, on mémorise quelques **dérivées de référence** : elles couvrent l'essentiel des fonctions rencontrées en Première.
- Fonction constante : $(k)' = 0$, et fonction identité : $(x)' = 1$.
- **Puissances :** $(x^n)' = n\,x^{n-1}$ (par exemple $(x^3)' = 3x^2$).
- **Inverse :** $\left(\dfrac{1}{x}\right)' = -\dfrac{1}{x^2}$, pour $x \neq 0$.
- **Racine :** $(\sqrt{x})' = \dfrac{1}{2\sqrt{x}}$, pour $x > 0$.
- La fonction dérivée garde le **même signe** que la pente locale : c'est elle qui pilotera les variations.
Exemple
Pour $f(x) = x^4$, on applique la formule des puissances avec $n = 4$ : $f'(x) = 4x^{4-1} = 4x^3$.
Piège à éviter
La formule $(x^n)' = n\,x^{n-1}$ **abaisse** l'exposant de $1$ ; on n'écrit pas $(x^3)' = 3x^3$. Et $\dfrac{1}{2\sqrt{x}}$ n'est défini que pour $x > 0$ : la racine n'est pas dérivable en $0$.
Les fonctions du programme se construisent en **combinant** des fonctions simples. Trois règles permettent de dériver ces combinaisons sans jamais revenir à la limite : la **somme**, le **multiple par une constante** et le **produit**.
- **Somme :** $(u + v)' = u' + v'$ — on dérive terme à terme.
- **Multiple :** $(k\,u)' = k\,u'$ — une constante multiplicative se conserve.
- **Produit :** $(uv)' = u'v + uv'$ — la formule à bien mémoriser.
- Ces règles se combinent : un polynôme se dérive en dérivant chaque monôme séparément.
- **Méthode produit :** repérer $u$ et $v$, calculer $u'$ et $v'$, puis assembler $u'v + uv'$.
Exemple
Soit $f(x) = (2x + 1)(x^2)$. Avec $u = 2x + 1$ ($u' = 2$) et $v = x^2$ ($v' = 2x$) : $f'(x) = 2 \times x^2 + (2x + 1) \times 2x = 2x^2 + 4x^2 + 2x = 6x^2 + 2x$.
Piège à éviter
La dérivée d'un **produit** n'est **pas** le produit des dérivées : $(uv)' \neq u'v'$. Il faut les **deux** termes $u'v$ **et** $uv'$. Oublier l'un des deux est l'erreur la plus fréquente.
Voici le cœur du chapitre : le **signe** de $f'$ donne le **sens de variation** de $f$. C'est le lien qui transforme un calcul de dérivée en une étude complète de la fonction, résumée dans un **tableau de variations**.
- Si $f'(x) > 0$ sur un intervalle $I$, alors $f$ est **croissante** sur $I$.
- Si $f'(x) < 0$ sur $I$, alors $f$ est **décroissante** sur $I$.
- Si $f'(x) = 0$ sur tout $I$, alors $f$ est **constante** sur $I$.
- **Méthode :** calculer $f'$, étudier son **signe**, en déduire les variations dans un tableau.
- Le tableau de variations résume tout : signe de $f'$ sur chaque ligne, flèches de $f$ en dessous.
Exemple
Soit $f(x) = x^2 - 4x + 3$, donc $f'(x) = 2x - 4$. On a $f'(x) > 0 \iff x > 2$ : $f$ est décroissante sur $]-\infty\,;2]$ puis croissante sur $[2\,;+\infty[$.
Piège à éviter
Une dérivée **positive** donne une fonction **croissante**, jamais l'inverse. Et c'est le **signe** de $f'(x)$ qui compte, pas sa valeur : $f' = 1$ et $f' = 100$ donnent toutes deux une fonction croissante.
Un **extremum local** est un sommet (maximum) ou un creux (minimum) de la courbe. À cet endroit, la tangente est **horizontale** : la dérivée s'y **annule**. Mais attention, encore faut-il qu'elle **change de signe** — sinon il n'y a pas d'extremum.
- En un extremum local, la tangente est horizontale : $f'$ s'**annule**.
- **Critère :** si $f'$ s'annule **et change de signe** en $a$, alors $f$ a un extremum local en $a$.
- $f'$ passe de $+$ à $-$ : **maximum** local. De $-$ à $+$ : **minimum** local.
- Si $f'$ s'annule **sans** changer de signe, il n'y a **pas** d'extremum (simple palier).
- On lit l'extremum directement sur le **tableau de variations** (sommet d'une flèche).
Exemple
Pour $f(x) = x^2 - 4x + 3$, $f'(x) = 2x - 4$ s'annule en $x = 2$ en passant de $-$ à $+$ : $f$ admet un **minimum** local en $x = 2$, valant $f(2) = 4 - 8 + 3 = -1$.
Piège à éviter
$f'(a) = 0$ ne suffit **pas** pour un extremum : il faut un **changement de signe**. Exemple : $f(x) = x^3$ a $f'(0) = 0$, mais $f'(x) = 3x^2 \geq 0$ partout — $f$ reste croissante, sans extremum.
Quiz - Dérivation
10 questions
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Notions clés — Mathématiques
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Questions fréquentes
Les points clés à retenir sur Dérivation et applications, extraits du quiz de révision.
La dérivée de $x^3$ est :
Réponse :
$3x^2$
La formule des puissances donne $(x^n)' = n\,x^{n-1}$, donc $(x^3)' = 3x^{2}$. On abaisse l'exposant de $1$ : la réponse $3x^3$ oublie justement cet abaissement.
Si $f'(x) > 0$ sur un intervalle, alors sur cet intervalle $f$ est :
Réponse :
croissante
Une dérivée strictement positive signifie que la pente locale est partout positive : la fonction **croît**. Le signe de $f'$ commande le sens de variation de $f$.
L'équation de la tangente à $\mathcal{C}_f$ au point d'abscisse $a$ est :
Réponse :
$y = f'(a)(x - a) + f(a)$
La tangente a pour pente $f'(a)$ et passe par $A\,(a\,;f(a))$, d'où $y = f'(a)(x - a) + f(a)$. Les autres formules oublient soit la pente, soit le passage par le point $A$.
La dérivée de $\dfrac{1}{x}$ est :
Réponse :
$-\dfrac{1}{x^2}$
$\left(\dfrac{1}{x}\right)' = -\dfrac{1}{x^2}$, pour $x \neq 0$. Le signe « moins » traduit que la fonction inverse est décroissante sur chaque intervalle où elle est définie.