Mathématiques — Fonctions
Fonctions de référence
Fonctions affines, carrée, inverse, racine carrée
Résumé synthétiqueFiche en 4 sectionsQuiz de 10 questionsGratuit, sans pub
Résumé
Quatre fonctions reviennent sans cesse au lycée : ce sont les **fonctions de référence**. La fonction **affine** $f(x) = ax + b$ trace une **droite** dont la pente $a$ donne la vitesse de montée. La fonction **carrée** $f(x) = x^2$ dessine une **parabole** symétrique, toujours positive. La fonction **inverse** $f(x) = \dfrac{1}{x}$ forme une **hyperbole** à deux branches qui frôlent les axes sans les toucher. La fonction **racine carrée** $f(x) = \sqrt{x}$ n'existe que pour $x \geq 0$ et grandit de plus en plus lentement. Connaître par cœur leur courbe, leur domaine et leurs variations, c'est se donner les moyens de résoudre des inéquations, d'étudier des fonctions plus complexes et de modéliser le réel.
La fonction **affine** $f(x) = ax + b$ a pour courbe une **droite**. Le coefficient $a$ (la **pente**) indique à quelle vitesse elle monte ou descend ; $b$ (l'**ordonnée à l'origine**) fixe le point de départ sur l'axe des ordonnées.
- **Forme :** $f(x) = ax + b$, avec $a$ le **coefficient directeur** et $b$ l'**ordonnée à l'origine** ($b = f(0)$).
- **Variation :** croissante si $a > 0$, décroissante si $a < 0$, constante si $a = 0$.
- **Cas linéaire :** si $b = 0$, alors $f(x) = ax$ et la droite passe par l'**origine**.
- **Pente entre deux points :** $a = \dfrac{y_B - y_A}{x_B - x_A}$.
- **Racine :** $ax + b = 0 \Rightarrow x = -\dfrac{b}{a}$ (intersection avec l'axe des abscisses).
Exemple
Tarif taxi $f(x) = 1{,}5x + 3$ ($1{,}5$ € par km, prise en charge de $3$ €) : $5$ km coûtent $f(5) = 1{,}5 \times 5 + 3 = 10{,}5$ €. Entre $A(1\,;3)$ et $B(4\,;9)$, la pente vaut $a = \dfrac{9 - 3}{4 - 1} = \dfrac{6}{3} = 2$.
Piège à éviter
Ne confonds pas $a$ et $b$ : $a$ est la **pente**, $b$ l'**ordonnée à l'origine**. Dans $f(x) = 2x - 5$, l'ordonnée à l'origine est $-5$ (et non $2$), car $f(0) = -5$.
La fonction **carrée** $f(x) = x^2$ a pour courbe une **parabole** de sommet l'origine. Elle **décroît** sur les négatifs puis **croît** sur les positifs, et reste **toujours positive ou nulle**.
- **Courbe :** parabole de sommet $O(0\,;0)$, ouverte vers le **haut**.
- **Variation :** décroissante sur $]-\infty\,;0]$, croissante sur $[0\,;+\infty[$ ; **minimum** atteint en $0$.
- **Signe :** $x^2 \geq 0$ pour tout réel $x$ (la courbe reste au-dessus de l'axe $Ox$).
- **Parité :** $f(-x) = (-x)^2 = x^2 = f(x)$ — fonction **paire**, symétrique par rapport à $Oy$.
- **Ordre :** si $0 < a < b$ alors $a^2 < b^2$ ; mais si $a < b < 0$ alors $a^2 > b^2$ (ordre **inversé**).
Exemple
$f(-3) = (-3)^2 = 9$ et $f(3) = 3^2 = 9$ : l'image $9$ a **deux** antécédents, $-3$ et $3$. C'est la signature de la symétrie de la parabole par rapport à l'axe $Oy$.
Piège à éviter
$(-3)^2 = 9$ (positif), mais $-3^2 = -9$ : sans parenthèses, le carré ne porte **que** sur le $3$. Et l'ordre n'est conservé que sur les **positifs** : pour deux négatifs, le carré l'inverse.
La fonction **inverse** $f(x) = \dfrac{1}{x}$ a pour courbe une **hyperbole** en deux branches. Elle n'est **pas définie en** $0$ (division impossible) et **décroît** sur chacune de ses deux branches.
- **Domaine :** $\mathbb{R}^* = \mathbb{R} \setminus \{0\}$ (tous les réels **sauf** $0$).
- **Courbe :** hyperbole à deux branches (quadrants haut-droite et bas-gauche).
- **Variation :** décroissante sur $]-\infty\,;0[$ **et** décroissante sur $]0\,;+\infty[$ (deux intervalles **séparés**).
- **Asymptotes :** l'axe $Ox$ ($y = 0$) et l'axe $Oy$ ($x = 0$).
- **Parité :** $f(-x) = -\dfrac{1}{x} = -f(x)$ — fonction **impaire**, symétrie centrale en $O$.
Exemple
$f(2) = \dfrac{1}{2} = 0{,}5$ et $f(0{,}5) = \dfrac{1}{0{,}5} = 2$. Plus $x$ grandit, plus $\dfrac{1}{x}$ se rapproche de $0$ — sans jamais l'atteindre.
Piège à éviter
On **ne peut pas** dire que $f$ est « décroissante sur $\mathbb{R}^*$ » : ce n'est pas un intervalle. Contre-exemple : $f(-1) = -1 < f(1) = 1$, alors que $-1 < 1$.
La fonction **racine carrée** $f(x) = \sqrt{x}$ n'existe que pour $x \geq 0$. Elle est **croissante**, mais de plus en plus **lentement** : sa courbe s'aplatit progressivement.
- **Domaine :** $[0\,;+\infty[$ — pas de racine carrée d'un nombre **négatif** dans $\mathbb{R}$.
- **Variation :** strictement **croissante** sur $[0\,;+\infty[$, avec une croissance qui ralentit.
- **Valeurs repères :** $\sqrt{0}=0$, $\sqrt{1}=1$, $\sqrt{4}=2$, $\sqrt{9}=3$, $\sqrt{16}=4$, $\sqrt{25}=5$.
- **Identité :** $\sqrt{a^2} = |a|$ (valeur absolue) ; par exemple $\sqrt{(-3)^2} = \sqrt{9} = 3$.
- **Produit :** $\sqrt{a \times b} = \sqrt{a} \times \sqrt{b}$ pour $a, b \geq 0$ ; ainsi $\sqrt{50} = \sqrt{25 \times 2} = 5\sqrt{2}$.
Exemple
Pour résoudre $\sqrt{x} = 4$ (avec $x \geq 0$), on élève au carré : $x = 4^2 = 16$. Vérification : $\sqrt{16} = 4$.
Piège à éviter
**Attention :** $\sqrt{a + b} \neq \sqrt{a} + \sqrt{b}$. Contre-exemple : $\sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5$, alors que $\sqrt{9} + \sqrt{16} = 3 + 4 = 7$. On ne « distribue » jamais une racine sur une somme.
Quiz - Fonctions de référence
10 questions
Ce thème dans une autre classe
Notions clés — Mathématiques
Articles utiles
Questions fréquentes
Les points clés à retenir sur Fonctions de référence, extraits du quiz de révision.
La fonction $f(x) = -3x + 2$ est :
Réponse :
Décroissante
Le coefficient directeur $a = -3$ est strictement **négatif**, donc $f$ est strictement décroissante sur $\mathbb{R}$ : la droite descend de gauche à droite. Quand $x$ augmente de $1$, $f(x)$ diminue de $3$.
La fonction carrée $f(x) = x^2$ est décroissante sur :
Réponse :
$]-\infty\,;0]$
Sur $]-\infty\,;0]$, plus $x$ se rapproche de $0$, plus $x^2$ diminue : $(-3)^2 = 9 > (-1)^2 = 1 > 0^2 = 0$. Puis $f$ croît sur $[0\,;+\infty[$. Le minimum est atteint en $x = 0$.
La fonction inverse $f(x) = \dfrac{1}{x}$ est définie pour :
Réponse :
$x \neq 0$
La division par zéro est impossible, donc $0$ est exclu : le domaine est $\mathbb{R}^*$, c'est-à-dire $x \neq 0$. En revanche $\dfrac{1}{x}$ existe pour les négatifs, par exemple $f(-2) = -0{,}5$. À ne pas confondre avec $\sqrt{x}$, qui exige $x \geq 0$.
Combien vaut $\sqrt{9}$ ?
Réponse :
$3$
$\sqrt{9} = 3$ car $3^2 = 9$. La fonction racine carrée renvoie **toujours** un résultat positif ou nul. La réponse $\pm 3$ vaut pour l'équation $x^2 = 9$, mais $\sqrt{9}$ ne désigne que la racine positive.