L'équation eˣ = 5 a pour solution :

x = ln 5. eˣ = 5 ⟺ x = ln 5 (5 > 0 donc la solution existe).

Quelle est la limite de eˣ quand x → −∞ ?

0. lim(x→−∞) eˣ = 0, l'exponentielle tend vers 0.

La dérivée de f(x) = x·eˣ est :

(1+x)eˣ. Par la formule (uv)' = u'v + uv' : f'(x) = eˣ + x·eˣ = (1+x)eˣ.

e²ˣ − 3eˣ + 2 = 0. On pose X = eˣ. L'équation en X est :

X² − 3X + 2 = 0. e²ˣ = (eˣ)² = X², donc on obtient X² − 3X + 2 = 0.

lim(x→+∞) eˣ/x² vaut :

+∞. Par croissance comparée, l'exponentielle l'emporte sur x² : la limite est +∞.

eˣ ≤ e³ équivaut à :

x ≤ 3. La fonction exponentielle est strictement croissante, donc eˣ ≤ e³ ⟺ x ≤ 3.

Mathématiques — Analyse

Fonction exponentielle

Q: La valeur de e⁰ est :

1. Par définition, exp(0) = 1.

Q: Simplifier e²ˣ × e³ˣ :

e⁵ˣ. eᵃ × eᵇ = eᵃ⁺ᵇ, donc e²ˣ × e³ˣ = e⁵ˣ.

Q: La dérivée de f(x) = e²ˣ⁺¹ est :

2e²ˣ⁺¹. On dérive la composée : u(x) = 2x+1, u'(x) = 2, donc f'(x) = 2e²ˣ⁺¹.

Q: Pour tout x réel, eˣ est :

Strictement positif. La fonction exponentielle est strictement positive sur ℝ : eˣ > 0 pour tout x.

Définition, propriétés algébriques, dérivée, équations et inéquations, croissance comparée

Résumé synthétiqueFiche en 5 sectionsQuiz de 10 questionsGratuit, sans pub

Résumé

La fonction exponentielle, notée exp ou eˣ, est l'unique fonction dérivable sur ℝ telle que f' = f et f(0) = 1. Elle vérifie les propriétés algébriques fondamentales : eᵃ⁺ᵇ = eᵃ × eᵇ, eᵃ⁻ᵇ = eᵃ / eᵇ et (eᵃ)ⁿ = eⁿᵃ. La fonction exponentielle est strictement positive sur ℝ : pour tout x, eˣ > 0. Elle est strictement croissante sur ℝ. L'équation eˣ = eʸ équivaut à x = y, et eˣ ≥ eʸ équivaut à x ≥ y. En croissance comparée, l'exponentielle l'emporte sur toute puissance de x : lim(x→+∞) eˣ/xⁿ = +∞.

Thème complet

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Les points clés à retenir sur Fonction exponentielle, extraits du quiz de révision.

La valeur de e⁰ est :

Réponse : 1

Par définition, exp(0) = 1.

Simplifier e²ˣ × e³ˣ :

Réponse : e⁵ˣ

eᵃ × eᵇ = eᵃ⁺ᵇ, donc e²ˣ × e³ˣ = e⁵ˣ.

La dérivée de f(x) = e²ˣ⁺¹ est :

Réponse : 2e²ˣ⁺¹

On dérive la composée : u(x) = 2x+1, u'(x) = 2, donc f'(x) = 2e²ˣ⁺¹.

Pour tout x réel, eˣ est :

Réponse : Strictement positif

La fonction exponentielle est strictement positive sur ℝ : eˣ > 0 pour tout x.

Résumé

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Les points clés à retenir sur Fonction exponentielle, extraits du quiz de révision.

La valeur de e⁰ est :

Réponse : 1

Par définition, exp(0) = 1.

Simplifier e²ˣ × e³ˣ :

Réponse : e⁵ˣ

eᵃ × eᵇ = eᵃ⁺ᵇ, donc e²ˣ × e³ˣ = e⁵ˣ.

La dérivée de f(x) = e²ˣ⁺¹ est :

Réponse : 2e²ˣ⁺¹

On dérive la composée : u(x) = 2x+1, u'(x) = 2, donc f'(x) = 2e²ˣ⁺¹.

Pour tout x réel, eˣ est :

Réponse : Strictement positif

La fonction exponentielle est strictement positive sur ℝ : eˣ > 0 pour tout x.

Fonction exponentielle

Résumé

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Dérivation avec l'exponentielle

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