Mathématiques — Géométrie
Géométrie repérée
Équation de droite, vecteur directeur, vecteur normal, projeté orthogonal, distance
Résumé synthétiqueFiche en 4 sectionsQuiz de 10 questionsGratuit, sans pub
Résumé
La **géométrie repérée** traduit les figures en **équations** et en **coordonnées** : on calcule au lieu de tracer. Au cœur du chapitre, la **droite**, décrite soit par son **équation réduite** $y = mx + p$, soit par son **équation cartésienne** $ax + by + c = 0$. À chaque droite sont attachés deux vecteurs essentiels : un **vecteur directeur** $\vec{u}(-b\,;a)$, qui donne sa direction, et un **vecteur normal** $\vec{n}(a\,;b)$, qui lui est perpendiculaire. Avec eux et le **produit scalaire**, on teste en un calcul si deux droites sont **parallèles** ou **perpendiculaires**. On apprend enfin à projeter orthogonalement un point sur une droite et à mesurer la **distance** d'un point à une droite — des outils qui servent en géométrie, en optimisation et en physique.
Une droite non verticale se décrit par son **équation réduite** $y = mx + p$, où $m$ est la **pente** (coefficient directeur) et $p$ l'**ordonnée à l'origine**. Toute droite, y compris verticale, admet aussi une **équation cartésienne** $ax + by + c = 0$, plus générale.
- **Équation réduite :** $y = mx + p$ ($m$ $=$ pente, $p$ $=$ ordonnée à l'origine).
- **Équation cartésienne :** $ax + by + c = 0$ (avec $a$ ou $b$ non nul).
- **Pente :** $m = \dfrac{y_B - y_A}{x_B - x_A}$ si $x_A \neq x_B$.
- **Droite passant par $A(x_A\,;y_A)$ de pente $m$ :** $y - y_A = m(x - x_A)$.
Exemple
Trouvons l'équation de la droite passant par $A(2\,;5)$ de pente $-3$. On écrit $y - 5 = -3(x - 2)$, soit $y = -3x + 6 + 5 = -3x + 11$.
Piège à éviter
Une **droite verticale** $x = c$ n'a **pas** de pente (le dénominateur $x_B - x_A$ serait nul) : elle ne s'écrit pas sous la forme $y = mx + p$, seulement en cartésienne.
Deux vecteurs résument la géométrie d'une droite $ax + by + c = 0$ : le **vecteur directeur** $\vec{u}(-b\,;a)$, qui pointe le long de la droite, et le **vecteur normal** $\vec{n}(a\,;b)$, qui lui est perpendiculaire. Repérer ces vecteurs est la clé de presque tous les exercices.
- Pour $ax + by + c = 0$ : **vecteur directeur** $\vec{u}(-b\,;a)$.
- Pour $ax + by + c = 0$ : **vecteur normal** $\vec{n}(a\,;b)$, perpendiculaire à la droite.
- Pour $y = mx + p$ : un vecteur directeur est $\vec{u}(1\,;m)$.
- Deux vecteurs $\vec{u}(x\,;y)$ et $\vec{v}(x'\,;y')$ sont **colinéaires** $\Leftrightarrow xy' - x'y = 0$.
Exemple
Pour la droite $3x - 2y + 5 = 0$ : $a = 3$, $b = -2$. Un vecteur directeur est $\vec{u}(-b\,;a) = \vec{u}(2\,;3)$ et un vecteur normal est $\vec{n}(a\,;b) = \vec{n}(3\,;-2)$.
Piège à éviter
Ne mélange pas les deux : le **directeur** est $\vec{u}(-b\,;a)$ (composantes croisées avec un signe), le **normal** est $\vec{n}(a\,;b)$ (les coefficients dans l'ordre). Les confondre fausse tous les tests de perpendicularité.
Deux droites sont **parallèles** quand leurs vecteurs directeurs sont colinéaires (même direction), et **perpendiculaires** quand leurs directions forment un angle droit. Pour la perpendicularité, l'outil décisif est le **produit scalaire** : il est nul exactement quand les vecteurs sont orthogonaux.
- **Parallèles :** vecteurs directeurs colinéaires, soit $m_1 = m_2$ (mêmes pentes).
- **Perpendiculaires :** $m_1 \times m_2 = -1$ (si les pentes existent).
- **Produit scalaire en coordonnées :** $\vec{u} \cdot \vec{v} = xx' + yy'$.
- $\vec{u} \cdot \vec{v} = 0 \Leftrightarrow \vec{u}$ et $\vec{v}$ sont **perpendiculaires**.
Exemple
Les droites de pentes $m_1 = 3$ et $m_2 = -\dfrac{1}{3}$ vérifient $m_1 \times m_2 = 3 \times \left(-\dfrac{1}{3}\right) = -1$ : elles sont **perpendiculaires**.
Piège à éviter
Pour la perpendicularité, le critère est $m_1 \times m_2 = -1$ (produit égal à $-1$), pas $m_1 = -m_2$. Deux pentes opposées comme $3$ et $-3$ ne donnent **pas** des droites perpendiculaires.
Le **projeté orthogonal** $H$ d'un point $M$ sur une droite est le point de la droite le plus **proche** de $M$ : le segment $[MH]$ est perpendiculaire à la droite. Sa longueur $MH$ est la **distance** du point à la droite, qui se calcule directement à partir de l'équation cartésienne.
- $H$ $=$ **projeté orthogonal** de $M$ sur $(d)$ : $\overrightarrow{MH}$ est perpendiculaire à $(d)$.
- **Distance point-droite :** $d(M,d) = \dfrac{|ax_0 + by_0 + c|}{\sqrt{a^2 + b^2}}$ pour $M(x_0\,;y_0)$.
- Cette distance $MH$ est la **plus courte** entre $M$ et la droite.
- **Médiatrice de $[AB]$ :** ensemble des points équidistants de $A$ et $B$ (passe par le milieu, perpendiculaire à $(AB)$).
Exemple
Distance de $M(1\,;2)$ à la droite $3x + 4y - 5 = 0$ : $d = \dfrac{|3 \times 1 + 4 \times 2 - 5|}{\sqrt{3^2 + 4^2}} = \dfrac{|6|}{\sqrt{25}} = \dfrac{6}{5} = 1{,}2$.
Piège à éviter
La formule de distance exige l'équation sous forme **cartésienne** $ax + by + c = 0$ (un membre nul) : si la droite est donnée par $y = mx + p$, ramène-la d'abord à $mx - y + p = 0$ avant d'appliquer la formule.
Quiz - Géométrie repérée
10 questions
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Notions clés — Mathématiques
Articles utiles
Questions fréquentes
Les points clés à retenir sur Géométrie repérée, extraits du quiz de révision.
La pente de la droite passant par $A(1\,;3)$ et $B(4\,;9)$ est :
Réponse :
$2$
$m = \dfrac{y_B - y_A}{x_B - x_A} = \dfrac{9 - 3}{4 - 1} = \dfrac{6}{3} = 2$.
Un vecteur directeur de la droite $3x - 2y + 5 = 0$ est :
Réponse :
$\vec{u}(2\,;3)$
Pour $ax + by + c = 0$, un vecteur directeur est $\vec{u}(-b\,;a) = \vec{u}(2\,;3)$.
Un vecteur normal à la droite $3x - 2y + 5 = 0$ est :
Réponse :
$\vec{n}(3\,;-2)$
Le vecteur normal est $\vec{n}(a\,;b) = \vec{n}(3\,;-2)$.
Le milieu de $[AB]$ avec $A(-2\,;4)$ et $B(6\,;0)$ est :
Réponse :
$(2\,;2)$
Milieu $= \left(\dfrac{-2 + 6}{2}\,;\dfrac{4 + 0}{2}\right) = (2\,;2)$.