La distance d'un point M(x₀;y₀;z₀) à un plan ax+by+cz+d=0 est :

|ax₀+by₀+cz₀+d| / √(a²+b²+c²)

Deux plans parallèles ont des vecteurs normaux :

Colinéaires. Plans parallèles → vecteurs normaux colinéaires (proportionnels).

Le milieu de [A(2;4;6) B(8;0;2)] a pour coordonnées :

(5;2;4). Milieu = ((xA+xB)/2 ; (yA+yB)/2 ; (zA+zB)/2) = ((2+8)/2 ; (4+0)/2 ; (6+2)/2) = (5;2;4).

Le produit scalaire u·v avec u(1;2;3) et v(4;-1;2) vaut :

8. u·v = 1×4 + 2×(-1) + 3×2 = 4 - 2 + 6 = 8.

La distance d'un point M(x₀;y₀;z₀) à un plan ax+by+cz+d=0 est :

|ax₀+by₀+cz₀+d| / √(a²+b²+c²). La formule de la distance d'un point à un plan est d = |ax₀+by₀+cz₀+d| / √(a²+b²+c²). La valeur absolue assure que la distance est toujours positive.

Deux droites non coplanaires dans l'espace sont :

Ni parallèles, ni sécantes. Dans l'espace (contrairement au plan), deux droites peuvent n'être ni parallèles ni sécantes : elles sont alors non coplanaires (ou « gauches »). Elles ne se croisent jamais et ne sont pas dans le même plan.

L'équation d'un plan passant par A avec un vecteur normal n(a;b;c) est de la forme :

ax + by + cz + d = 0. Un plan dans l'espace admet une équation cartésienne de la forme ax + by + cz + d = 0, où (a;b;c) est un vecteur normal au plan. La constante d se détermine en remplaçant x, y, z par les coordonnées d'un point du plan.

Maths (Spé) — Géométrie

Géométrie dans l'espace

Q: Le vecteur normal au plan 2x+3y-z+5=0 est :

(2;3;-1). Le vecteur normal est (a;b;c) = (2;3;-1).

Vecteurs, plans, droites, orthogonalité

Résumé synthétiqueFiche en 3 sectionsQuiz de 10 questionsGratuit, sans pub

Résumé

Dans l'espace, un point a 3 coordonnées (x,y,z). Un plan est défini par un point et deux vecteurs directeurs, ou par une équation ax+by+cz+d=0. Le vecteur normal au plan est n(a,b,c). Deux droites peuvent être parallèles, sécantes ou non coplanaires. Le produit scalaire permet de calculer des angles et prouver l'orthogonalité.

Thème complet

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Questions fréquentes

Les points clés à retenir sur Géométrie dans l'espace, extraits du quiz de révision.

Un point dans l'espace a combien de coordonnées ?

Réponse : 3

3 coordonnées : x, y et z.

Le vecteur normal au plan 2x+3y-z+5=0 est :

Réponse : (2;3;-1)

Le vecteur normal est (a;b;c) = (2;3;-1).

Deux vecteurs sont orthogonaux si leur produit scalaire est :

Réponse : 0

u ⊥ v ⟺ u·v = 0.

La distance entre A(1;0;0) et B(0;0;0) est :

Réponse : 1

AB = √(1²+0²+0²) = 1.

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