Maths (Spé) — Géométrie
Géométrie dans l'espace
Vecteurs, plans, droites, orthogonalité
Résumé synthétiqueFiche en 3 sectionsQuiz de 10 questionsGratuit, sans pub
Résumé
Tout ce qu'on faisait dans le plan se prolonge dans l'**espace**, avec une coordonnée de plus : un point $M$ y est repéré par $(x\,;y\,;z)$. On y manipule des **vecteurs**, des **droites** et surtout des **plans**, décrits par une **équation cartésienne** $ax + by + cz + d = 0$ dont les coefficients donnent directement un **vecteur normal** $\vec{n}(a\,;b\,;c)$. L'outil maître reste le **produit scalaire** $\vec{u}\cdot\vec{v} = x_u x_v + y_u y_v + z_u z_v$ : il mesure des **angles**, prouve l'**orthogonalité** ($\vec{u}\cdot\vec{v} = 0$) et permet de calculer des **distances**. Nouveauté de l'espace : deux droites peuvent être **non coplanaires**, ni parallèles ni sécantes.
Dans un **repère orthonormé** $(O\,;\vec{i},\vec{j},\vec{k})$ de l'espace, chaque point porte **trois** coordonnées $(x\,;y\,;z)$. Les formules du plan se prolongent en ajoutant simplement la composante en $z$ : coordonnées d'un vecteur, distance, milieu.
- **Point :** $M(x\,;y\,;z)$ — trois coordonnées au lieu de deux.
- **Vecteur :** $\vec{AB}\,(x_B - x_A\,;\,y_B - y_A\,;\,z_B - z_A)$.
- **Norme / distance :** $AB = \sqrt{(x_B - x_A)^2 + (y_B - y_A)^2 + (z_B - z_A)^2}$.
- **Milieu de $[AB]$ :** $\left(\dfrac{x_A + x_B}{2}\,;\,\dfrac{y_A + y_B}{2}\,;\,\dfrac{z_A + z_B}{2}\right)$.
- **Colinéarité :** $\vec{u}$ et $\vec{v}$ sont colinéaires $\Leftrightarrow$ il existe $k$ tel que $\vec{v} = k\,\vec{u}$.
Exemple
Soit $A(1\,;2\,;3)$ et $B(4\,;6\,;3)$. Alors $\vec{AB}\,(3\,;4\,;0)$ et $AB = \sqrt{3^2 + 4^2 + 0^2} = \sqrt{25} = 5$. Le milieu de $[AB]$ est $I\left(\dfrac{5}{2}\,;4\,;3\right)$.
Piège à éviter
N'oublie pas la **troisième** coordonnée dans **toutes** les formules : un $z$ omis dans la distance ou le milieu fausse le résultat. La norme garde **un seul** radical, sur la somme des **trois** carrés.
Un **plan** de l'espace se décrit par une **équation cartésienne** $ax + by + cz + d = 0$. Le trio de coefficients $(a\,;b\,;c)$ forme un **vecteur normal** $\vec{n}$ au plan — perpendiculaire à toutes ses directions. Une **droite**, elle, se décrit par un point et un **vecteur directeur**.
- **Équation de plan :** $ax + by + cz + d = 0$, avec $\vec{n}(a\,;b\,;c) \neq \vec{0}$ **normal** au plan.
- **Plans parallèles :** leurs vecteurs normaux sont **colinéaires**.
- **Plan défini par $A$ et $\vec{n}$ :** $M \in \mathcal{P} \Leftrightarrow \vec{AM}\cdot\vec{n} = 0$.
- **Droite :** un point $A$ et un **vecteur directeur** $\vec{u}$ ; ou l'**intersection de deux plans**.
- **Droite $\perp$ plan :** la droite a pour vecteur directeur un **vecteur normal** du plan.
Exemple
Plan passant par $A(1\,;0\,;2)$ de vecteur normal $\vec{n}(2\,;-1\,;3)$. Son équation est $2x - y + 3z + d = 0$ ; on trouve $d$ avec $A$ : $2 \times 1 - 0 + 3 \times 2 + d = 0 \Rightarrow 8 + d = 0 \Rightarrow d = -8$. Équation : $2x - y + 3z - 8 = 0$.
Piège à éviter
Le vecteur normal se lit **directement** dans l'équation : pour $2x - y + 3z - 8 = 0$, c'est $\vec{n}(2\,;-1\,;3)$ — attention au **signe** du coefficient de $y$ ($-1$, pas $1$). La constante $d$ n'en fait **pas** partie.
Le **produit scalaire** est l'outil qui relie **coordonnées** et **géométrie** (longueurs, angles). Dans l'espace, il s'obtient en additionnant les produits des coordonnées. Sa nullité est le **test d'orthogonalité**, et il débouche sur la distance d'un point à un plan.
- **Expression analytique :** $\vec{u}\cdot\vec{v} = x_u x_v + y_u y_v + z_u z_v$.
- **Forme géométrique :** $\vec{u}\cdot\vec{v} = \|\vec{u}\| \times \|\vec{v}\| \times \cos(\vec{u},\vec{v})$.
- **Orthogonalité :** $\vec{u} \perp \vec{v} \Leftrightarrow \vec{u}\cdot\vec{v} = 0$.
- **Norme :** $\|\vec{u}\| = \sqrt{\vec{u}\cdot\vec{u}} = \sqrt{x_u^2 + y_u^2 + z_u^2}$.
- **Distance point–plan :** $d(M,\mathcal{P}) = \dfrac{|a x_0 + b y_0 + c z_0 + d|}{\sqrt{a^2 + b^2 + c^2}}$.
Exemple
Soit $\vec{u}(1\,;2\,;3)$ et $\vec{v}(4\,;-1\,;2)$. Produit scalaire : $\vec{u}\cdot\vec{v} = 1 \times 4 + 2 \times (-1) + 3 \times 2 = 4 - 2 + 6 = 8$. Comme $8 \neq 0$, les vecteurs ne sont **pas** orthogonaux.
Piège à éviter
Pour l'orthogonalité, c'est le **produit scalaire** qui doit être nul, pas les coordonnées. Dans la distance point–plan, le numérateur prend une **valeur absolue** (distance $\geq 0$) et le dénominateur est la **norme du vecteur normal**, $\sqrt{a^2 + b^2 + c^2}$.
Quiz - Géométrie dans l'espace
10 questions
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Questions fréquentes
Les points clés à retenir sur Géométrie dans l'espace, extraits du quiz de révision.
Dans l'espace, un point est repéré par combien de coordonnées ?
Réponse :
$3$
Trois coordonnées $(x\,;y\,;z)$ : une de plus que dans le plan.
Le vecteur normal au plan $2x + 3y - z + 5 = 0$ est :
Réponse :
$(2\,;3\,;-1)$
Le vecteur normal est formé des coefficients de $x$, $y$, $z$ : $\vec{n}(2\,;3\,;-1)$. La constante $5$ n'en fait pas partie, et le coefficient de $z$ est $-1$.
Deux vecteurs sont orthogonaux si leur produit scalaire vaut :
Réponse :
$0$
$\vec{u} \perp \vec{v} \Leftrightarrow \vec{u}\cdot\vec{v} = 0$ : un produit scalaire nul caractérise l'orthogonalité.
La distance entre $A(1\,;0\,;0)$ et $B(0\,;0\,;0)$ vaut :
Réponse :
$1$
$AB = \sqrt{(0 - 1)^2 + 0^2 + 0^2} = \sqrt{1} = 1$.