Maths (Spé) — Analyse
Intégration
Primitives, intégrales, calcul d'aires
Résumé synthétiqueFiche en 3 sectionsQuiz de 10 questionsGratuit, sans pub
Résumé
**Intégrer**, c'est l'opération **inverse** de dériver — et l'outil pour mesurer une **aire**. Une **primitive** $F$ de $f$ vérifie $F' = f$ ; à partir d'elle, l'**intégrale** $\int_a^b f(x)\,dx = F(b) - F(a)$ donne l'**aire algébrique** entre la courbe de $f$ et l'axe des abscisses sur $[a\,;b]$. Tout repose sur un petit catalogue de **primitives usuelles** (celle de $x^n$ est $\dfrac{x^{n+1}}{n+1}$, celle de $e^x$ est $e^x$, celle de $\dfrac{1}{x}$ est $\ln|x|$) et sur trois propriétés clés : **linéarité**, **relation de Chasles** et **positivité**. Les intégrales servent partout : aires, volumes, valeur moyenne d'un signal, travail d'une force, probabilités continues.
Une **primitive** de $f$ est une fonction $F$ qui, **dérivée**, redonne $f$ : $F' = f$. C'est donc l'opération **réciproque** de la dérivation. Il en existe une infinité, toutes égales à une **constante** près — d'où le « $+\,C$ » systématique.
- **Définition :** $F$ est une primitive de $f$ sur un intervalle $I$ si $F'(x) = f(x)$ pour tout $x \in I$.
- **Toutes les primitives :** si $F$ en est une, les autres sont $F(x) + C$ (avec $C$ constante réelle).
- **Puissances :** une primitive de $x^n$ est $\dfrac{x^{n+1}}{n+1}$ (pour $n \neq -1$).
- **Exponentielle :** une primitive de $e^x$ est $e^x$ ; de $e^{kx}$, c'est $\dfrac{1}{k}e^{kx}$.
- **Inverse et trigonométrie :** primitive de $\dfrac{1}{x}$ : $\ln|x|$ ; de $\cos x$ : $\sin x$ ; de $\sin x$ : $-\cos x$.
Exemple
Cherchons une primitive de $f(x) = 3x^2 + \dfrac{1}{x}$ sur $]0\,;+\infty[$. Primitive de $3x^2$ : $3 \times \dfrac{x^3}{3} = x^3$ ; primitive de $\dfrac{1}{x}$ : $\ln x$. Donc $F(x) = x^3 + \ln x + C$. On vérifie : $F'(x) = 3x^2 + \dfrac{1}{x} = f(x)$.
Piège à éviter
Trouver une primitive de $x^n$, c'est **remonter** la dérivation : on **ajoute** $1$ à l'exposant puis on **divise** par le nouvel exposant — l'inverse exact de la dérivation. Et n'oublie jamais le $+\,C$ pour une primitive « générale ».
L'**intégrale définie** $\int_a^b f(x)\,dx$ se calcule avec **n'importe quelle** primitive $F$ : c'est $F(b) - F(a)$ (la constante $C$ s'élimine). Géométriquement, quand $f \geq 0$, ce nombre est l'**aire** sous la courbe, exprimée en unités d'aire.
- **Calcul :** $\displaystyle\int_a^b f(x)\,dx = \big[F(x)\big]_a^b = F(b) - F(a)$.
- **Aire (si $f \geq 0$) :** $\int_a^b f(x)\,dx$ est l'aire entre la courbe, l'axe $Ox$ et les droites $x = a$ et $x = b$.
- **Aire algébrique :** là où $f < 0$, l'intégrale **compte négativement**.
- **Aire géométrique totale :** $\mathcal{A} = \displaystyle\int_a^b |f(x)|\,dx$ (toujours positive).
- **Bornes :** $\displaystyle\int_a^a f = 0$ et $\displaystyle\int_b^a f = -\int_a^b f$ (inverser les bornes change le signe).
Exemple
Calculons $\displaystyle\int_0^2 (2x + 1)\,dx$. Une primitive : $F(x) = x^2 + x$. Donc l'intégrale vaut $F(2) - F(0) = (4 + 2) - 0 = 6$. C'est l'aire sous la droite $y = 2x + 1$ entre $x = 0$ et $x = 2$.
Piège à éviter
Une intégrale peut être **négative ou nulle** : ce n'est l'aire « géométrique » que si $f \geq 0$. Pour une fonction qui change de signe, l'aire réelle se calcule avec $|f|$, en découpant aux endroits où $f$ s'annule.
Trois propriétés rendent les intégrales maniables sans tout recalculer : la **linéarité** (on sort les coefficients, on sépare les sommes), la **relation de Chasles** (on découpe l'intervalle), et la **comparaison** (l'ordre des fonctions passe à l'intégrale). Elles débouchent sur la **valeur moyenne**.
- **Linéarité :** $\displaystyle\int_a^b \big(\alpha f + \beta g\big) = \alpha\int_a^b f + \beta\int_a^b g$.
- **Relation de Chasles :** $\displaystyle\int_a^b f + \int_b^c f = \int_a^c f$.
- **Positivité :** si $f \geq 0$ sur $[a\,;b]$, alors $\displaystyle\int_a^b f \geq 0$.
- **Comparaison :** si $f \leq g$ sur $[a\,;b]$, alors $\displaystyle\int_a^b f \leq \int_a^b g$.
- **Valeur moyenne :** $\mu = \dfrac{1}{b - a}\displaystyle\int_a^b f(x)\,dx$ — hauteur du rectangle de même aire.
Exemple
Valeur moyenne de $f(x) = x^2$ sur $[0\,;3]$. Une primitive : $\dfrac{x^3}{3}$, donc $\displaystyle\int_0^3 x^2\,dx = \dfrac{27}{3} - 0 = 9$. La valeur moyenne est $\mu = \dfrac{1}{3 - 0} \times 9 = 3$.
Piège à éviter
La linéarité ne marche **que** pour les sommes et les multiples : il n'existe **aucune** formule $\int (f \times g) = \int f \times \int g$ ni $\int \dfrac{f}{g} = \dfrac{\int f}{\int g}$. Produit et quotient ne se « distribuent » pas.
Quiz - Intégration
10 questions
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Questions fréquentes
Les points clés à retenir sur Intégration, extraits du quiz de révision.
Une primitive de $x^2$ est :
Réponse :
$\dfrac{x^3}{3} + C$
Une primitive de $x^n$ est $\dfrac{x^{n+1}}{n+1}$, donc pour $x^2$ : $\dfrac{x^3}{3} + C$. (On ajoute $1$ à l'exposant et on divise par le nouvel exposant.)
$\displaystyle\int_0^1 2x\,dx$ vaut :
Réponse :
$1$
Une primitive de $2x$ est $x^2$. Donc $\int_0^1 2x\,dx = 1^2 - 0^2 = 1$.
Une primitive de $e^x$ est :
Réponse :
$e^x + C$
$e^x$ est sa propre dérivée, donc aussi sa propre primitive : $e^x + C$.
Une primitive de $\dfrac{1}{x}$ est :
Réponse :
$\ln|x| + C$
$\big(\ln|x|\big)' = \dfrac{1}{x}$, donc une primitive de $\dfrac{1}{x}$ est $\ln|x| + C$.