Maths (Spé) — Probabilités
Lois de probabilité continues
Loi uniforme, loi exponentielle, loi normale
Résumé synthétiqueFiche en 3 sectionsQuiz de 10 questionsGratuit, sans pub
Résumé
Jusqu'ici une variable aléatoire prenait des valeurs **isolées** ; ici elle prend **toutes** les valeurs d'un intervalle. On ne parle plus de la probabilité d'une valeur unique (toujours nulle !) mais de l'**aire sous une courbe de densité** : $P(c \leq X \leq d) = \int_c^d f(x)\,dx$. Trois lois reines : la loi **uniforme** sur $[a\,;b]$ (le hasard « plat », chaque zone de même largeur a la même probabilité), la loi **exponentielle** de paramètre $\lambda$ (durées de vie **sans vieillissement** : ampoules, désintégration radioactive), et la loi **normale** $\mathcal{N}(\mu,\sigma^2)$, la fameuse **courbe en cloche** qui régit tailles, erreurs de mesure et moyennes. Deux réflexes à garder : une probabilité, c'est une **aire** ; et l'aire totale sous une densité vaut toujours $1$.
Avec la loi **uniforme**, le hasard est « plat » : aucune zone n'est privilégiée, seules comptent les **largeurs**. La densité est donc **constante** sur $[a\,;b]$, et une probabilité se lit comme un simple **rapport de longueurs**. C'est le modèle de l'attente d'un bus qui passe « au hasard » dans un créneau, ou d'un nombre tiré « uniformément ».
![Densité de la loi uniforme sur [a;b] : une fonction constante égale à 1/(b-a), et l'aire d'un rectangle entre c et d représentant la probabilité P(c ≤ X ≤ d)](/fiches/ter-spe-maths-3-densite.svg)
- **Densité :** $f(x) = \dfrac{1}{b - a}$ pour $x \in [a\,;b]$, et $f(x) = 0$ ailleurs. Son graphe est un rectangle d'aire $1$.
- **Probabilité = rapport de longueurs :** $P(c \leq X \leq d) = \dfrac{d - c}{b - a}$ pour $a \leq c \leq d \leq b$.
- **Espérance :** $E(X) = \dfrac{a + b}{2}$ — le **milieu** de l'intervalle, par symétrie.
- **Variance :** $V(X) = \dfrac{(b - a)^2}{12}$, d'où l'écart-type $\sigma = \dfrac{b - a}{\sqrt{12}}$.
- **Valeur ponctuelle :** $P(X = c) = 0$ pour tout $c$ — en continu, un point seul n'a **aucune** probabilité.
Exemple
Un bus passe à un instant **uniforme** entre $7$ h et $7$ h $30$, soit $X$ sur $[0\,;30]$ (en minutes). Probabilité d'attendre **entre $10$ et $20$ minutes** : $P(10 \leq X \leq 20) = \dfrac{20 - 10}{30 - 0} = \dfrac{10}{30} = \dfrac{1}{3}$. Attente moyenne : $E(X) = \dfrac{0 + 30}{2} = 15$ minutes.
Piège à éviter
On divise par la **longueur totale** $b - a$, jamais par $b$. Sur $[2\,;8]$, $P(3 \leq X \leq 5) = \dfrac{5 - 3}{8 - 2} = \dfrac{2}{6} = \dfrac{1}{3}$, et non $\dfrac{2}{8}$.
La loi **exponentielle** modélise la **durée d'attente** d'un événement qui survient « sans prévenir » : panne d'une ampoule, désintégration d'un atome, prochain appel d'un standard. Sa signature est l'**absence de mémoire** : une ampoule allumée depuis $1\,000$ h n'est « pas plus usée » qu'une neuve.
- **Densité :** $f(x) = \lambda\,e^{-\lambda x}$ pour $x \geq 0$ (et $0$ pour $x < 0$), avec $\lambda > 0$.
- **Fonction de répartition :** $P(X \leq t) = 1 - e^{-\lambda t}$, donc $P(X > t) = e^{-\lambda t}$.
- **Espérance :** $E(X) = \dfrac{1}{\lambda}$ — la **durée de vie moyenne**.
- **Absence de mémoire :** $P_{X > s}(X > s + t) = P(X > t)$ : le passé « s'oublie ».
- Plus $\lambda$ est **grand**, plus l'événement arrive **vite** (durée moyenne $\dfrac{1}{\lambda}$ courte).
Exemple
Une ampoule a une durée de vie $X$ exponentielle de moyenne $E(X) = 2\,000$ h, donc $\lambda = \dfrac{1}{2\,000}$. Probabilité qu'elle dure **plus de $3\,000$ h** : $P(X > 3\,000) = e^{-\lambda \times 3000} = e^{-3000/2000} = e^{-1{,}5} \approx 0{,}22$.
Piège à éviter
Ne confonds pas $\lambda$ et la moyenne : $E(X) = \dfrac{1}{\lambda}$, **pas** $\lambda$. Et pour « durer plus de $t$ », on utilise $P(X > t) = e^{-\lambda t}$, **pas** $1 - e^{-\lambda t}$ (qui est $P(X \leq t)$).
La loi **normale** $\mathcal{N}(\mu,\sigma^2)$ est la **courbe en cloche**, omniprésente dès qu'on cumule beaucoup de petits hasards : tailles, erreurs de mesure, moyennes d'échantillons. Elle est entièrement réglée par deux nombres : $\mu$ (le **centre**) et $\sigma$ (la **dispersion**).
- **Forme :** courbe en cloche **symétrique** autour de $x = \mu$ ; aire totale $1$.
- **Paramètres :** $\mu$ est l'**espérance** (centre, sommet), $\sigma$ l'**écart-type** (largeur de la cloche).
- **Règle $68$–$95$–$99{,}7$ :** environ $68\,\%$ des valeurs dans $[\mu - \sigma\,;\mu + \sigma]$, $95\,\%$ dans $[\mu - 2\sigma\,;\mu + 2\sigma]$, $99{,}7\,\%$ dans $[\mu - 3\sigma\,;\mu + 3\sigma]$.
- **Loi centrée réduite :** $\mathcal{N}(0,1)$, obtenue par le changement de variable $Z = \dfrac{X - \mu}{\sigma}$.
- **En pratique :** on calcule $P(c \leq X \leq d)$ à la **calculatrice** (fonction « normalFRép »).
Exemple
Les QI suivent $\mathcal{N}(100, 15^2)$, donc $\mu = 100$ et $\sigma = 15$. D'après la règle $68$–$95$–$99{,}7$, environ $95\,\%$ des personnes ont un QI dans $[\mu - 2\sigma\,;\mu + 2\sigma] = [70\,;130]$, et par symétrie $P(X \geq 100) = 0{,}5$.
Piège à éviter
Attention à $\sigma$ et $\sigma^2$ : dans la notation $\mathcal{N}(\mu,\sigma^2)$, le second terme est la **variance**. Pour $\mathcal{N}(100, 25)$, on a $\sigma = \sqrt{25} = 5$, pas $25$. La règle des intervalles utilise $\sigma$, jamais $\sigma^2$.
Quiz - Lois continues
10 questions
Notions clés — Maths (Spé)
Articles utiles
Questions fréquentes
Les points clés à retenir sur Lois de probabilité continues, extraits du quiz de révision.
Pour une loi uniforme sur $[0\,;10]$, $P(3 \leq X \leq 7)$ vaut :
Réponse :
$0{,}4$
$P(3 \leq X \leq 7) = \dfrac{7 - 3}{10 - 0} = \dfrac{4}{10} = 0{,}4$. On divise la longueur visée par la longueur **totale** de l'intervalle.
L'espérance d'une loi exponentielle de paramètre $\lambda$ est :
Réponse :
$\dfrac{1}{\lambda}$
$E(X) = \dfrac{1}{\lambda}$ : c'est la durée de vie moyenne. Plus $\lambda$ est grand, plus l'événement survient vite.
Pour une loi normale $\mathcal{N}(50, 16)$, l'écart-type $\sigma$ vaut :
Réponse :
$4$
Dans $\mathcal{N}(\mu,\sigma^2)$, le second nombre est la **variance** $\sigma^2 = 16$, donc $\sigma = \sqrt{16} = 4$. Piège classique : confondre variance et écart-type.
Dans une loi $\mathcal{N}(\mu,\sigma^2)$, environ $95\,\%$ des valeurs sont dans :
Réponse :
$[\mu - 2\sigma\,;\mu + 2\sigma]$
Règle $68$–$95$–$99{,}7$ : $95\,\%$ des valeurs se trouvent dans $[\mu - 2\sigma\,;\mu + 2\sigma]$ (deux écarts-types autour de la moyenne).