Résumé
Le logarithme népérien, noté ln, est la fonction réciproque de la fonction exponentielle. Il est défini sur ]0 ; +∞[ et à valeurs dans ℝ. La relation fondamentale qui lie ln et exp est : y = ln(x) ⟺ x = eʸ. Autrement dit, ln(eˣ) = x pour tout x réel, et e^(ln x) = x pour tout x > 0. Les valeurs remarquables sont ln(1) = 0 (car e⁰ = 1) et ln(e) = 1. Le logarithme transforme les produits en sommes : ln(a×b) = ln(a) + ln(b), les quotients en différences : ln(a/b) = ln(a) - ln(b), et les puissances en produits : ln(aⁿ) = n×ln(a). Ces propriétés algébriques sont essentielles pour résoudre des équations et simplifier des expressions. La dérivée de ln(x) est 1/x, et plus généralement (ln u)' = u'/u, ce qui fait du logarithme un outil puissant pour l'étude de fonctions. La fonction ln est strictement croissante sur ]0 ; +∞[, ce qui signifie que ln(a) < ln(b) ⟺ a < b (pour a, b > 0). Ses limites aux bornes sont : lim(x→0⁺) ln(x) = -∞ et lim(x→+∞) ln(x) = +∞, mais ln croît très lentement (plus lentement que toute puissance de x). La dérivée logarithmique u'/u apparaît naturellement dans de nombreux problèmes : taux de croissance, temps de doublement, décroissance radioactive. Le logarithme népérien est lié au logarithme décimal par log₁₀(x) = ln(x)/ln(10).