Aucune simplification possible en général

ln est défini pour :

x > 0 (strictement positif). Le logarithme népérien est défini sur ]0 ; +∞[, c'est-à-dire pour x strictement positif. Il n'existe PAS pour x = 0 (car lim(x→0⁺) ln(x) = -∞) ni pour x < 0. C'est pourquoi dans les équations avec ln, il faut toujours vérifier que l'argument est strictement positif (condition d'existence).

ln(a) = ln(b) implique :

a = b (si a,b > 0). Comme la fonction ln est strictement croissante (donc injective) sur ]0;+∞[, l'égalité ln(a) = ln(b) implique nécessairement a = b (à condition que a > 0 et b > 0). Cette propriété est ESSENTIELLE pour résoudre les équations logarithmiques : on met tout sous la forme ln(expression1) = ln(expression2), puis on conclut expression1 = expression2.

lim(x→+∞) ln(x)/x = ?

0. C'est un résultat de croissances comparées fondamental : lim(x→+∞) ln(x)/x = 0. Le logarithme croît BEAUCOUP plus lentement que x. Par exemple : ln(1000) ≈ 6,9 alors que 1000/1000 = 1 et ln(1000)/1000 ≈ 0,0069. Plus généralement, ln(x)/xⁿ → 0 pour tout n > 0.

La solution de eˣ = 7 est :

x = ln(7). Pour résoudre eˣ = 7, on applique ln des deux côtés : ln(eˣ) = ln(7), donc x = ln(7) ≈ 1,946. C'est la méthode standard : quand l'inconnue est en exposant de e, on « passe au ln ». Inversement, si ln(x) = k, on passe à l'exponentielle : x = eᵏ.

½·ln(x). ln(√x) = ln(x^(1/2)) = ½·ln(x). On utilise la propriété ln(aⁿ) = n·ln(a) avec n = 1/2. C'est un cas particulier très fréquent en exercice. De même : ln(x³) = 3·ln(x), ln(1/x) = ln(x⁻¹) = -ln(x), ln(∛x) = ⅓·ln(x).

lim(x→0⁺) x·ln(x) = ?

0. C'est une forme indéterminée 0 × (-∞) (car x → 0⁺ et ln(x) → -∞). Par les croissances comparées, la puissance x l'emporte sur ln(x) au voisinage de 0⁺, donc x·ln(x) → 0. Ce résultat est CAPITAL et revient dans de nombreux exercices. Il permet de prolonger par continuité en 0 la fonction f(x) = x·ln(x) en posant f(0) = 0.

Maths (Spé) — Analyse

Logarithme népérien

Q: ln(1) = ?

0. ln(1) = 0 car e⁰ = 1. C'est une valeur remarquable fondamentale à connaître par cœur. Graphiquement, la courbe de ln coupe l'axe des abscisses au point (1 ; 0). Cela signifie que 1 est le seul nombre dont le logarithme népérien est nul.

Q: ln(e) = ?

1. ln(e) = 1 car e¹ = e. La relation réciproque entre ln et exp donne : ln(eˣ) = x, donc ln(e¹) = 1. On peut aussi le comprendre en disant que « le logarithme de la base vaut 1 ». De même : ln(e²) = 2, ln(e³) = 3, etc.

Q: ln(a×b) = ?

ln(a) + ln(b). Le logarithme transforme un produit en somme : ln(a×b) = ln(a) + ln(b). C'est la propriété fondamentale du logarithme, héritée de la relation eᵃ⁺ᵇ = eᵃ × eᵇ. ATTENTION à l'erreur classique : ln(a+b) ≠ ln(a) + ln(b) ! Le ln « distribue » sur les produits, JAMAIS sur les sommes.

Q: La dérivée de ln(x) est :

1/x. (ln x)' = 1/x pour tout x > 0. C'est une formule fondamentale à connaître par cœur. Plus généralement, la dérivée de ln(u) est u'/u (formule de la dérivée composée). Par exemple : [ln(3x+1)]' = 3/(3x+1). Cette dérivée 1/x étant toujours positive pour x > 0, cela confirme que ln est strictement croissante.

Q: ln(a) = ln(b) implique :

a = b (si a,b > 0). Comme la fonction ln est strictement croissante (donc injective) sur ]0;+∞[, l'égalité ln(a) = ln(b) implique nécessairement a = b (à condition que a > 0 et b > 0). Cette propriété est ESSENTIELLE pour résoudre les équations logarithmiques : on met tout sous la forme ln(expression1) = ln(expression2), puis on conclut expression1 = expression2.

Définition, propriétés algébriques, dérivation, équations et inéquations logarithmiques

Résumé synthétiqueFiche en 4 sectionsQuiz de 15 questionsGratuit, sans pub

Résumé

Le logarithme népérien, noté ln, est la fonction réciproque de la fonction exponentielle. Il est défini sur ]0 ; +∞[ et à valeurs dans ℝ. La relation fondamentale qui lie ln et exp est : y = ln(x) ⟺ x = eʸ. Autrement dit, ln(eˣ) = x pour tout x réel, et e^(ln x) = x pour tout x > 0. Les valeurs remarquables sont ln(1) = 0 (car e⁰ = 1) et ln(e) = 1. Le logarithme transforme les produits en sommes : ln(a×b) = ln(a) + ln(b), les quotients en différences : ln(a/b) = ln(a) - ln(b), et les puissances en produits : ln(aⁿ) = n×ln(a). Ces propriétés algébriques sont essentielles pour résoudre des équations et simplifier des expressions. La dérivée de ln(x) est 1/x, et plus généralement (ln u)' = u'/u, ce qui fait du logarithme un outil puissant pour l'étude de fonctions. La fonction ln est strictement croissante sur ]0 ; +∞[, ce qui signifie que ln(a) < ln(b) ⟺ a < b (pour a, b > 0). Ses limites aux bornes sont : lim(x→0⁺) ln(x) = -∞ et lim(x→+∞) ln(x) = +∞, mais ln croît très lentement (plus lentement que toute puissance de x). La dérivée logarithmique u'/u apparaît naturellement dans de nombreux problèmes : taux de croissance, temps de doublement, décroissance radioactive. Le logarithme népérien est lié au logarithme décimal par log₁₀(x) = ln(x)/ln(10).

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Questions fréquentes

Les points clés à retenir sur Logarithme népérien, extraits du quiz de révision.

ln(1) = ?

Réponse : 0

ln(1) = 0 car e⁰ = 1. C'est une valeur remarquable fondamentale à connaître par cœur. Graphiquement, la courbe de ln coupe l'axe des abscisses au point (1 ; 0). Cela signifie que 1 est le seul nombre dont le logarithme népérien est nul.

ln(e) = ?

Réponse : 1

ln(e) = 1 car e¹ = e. La relation réciproque entre ln et exp donne : ln(eˣ) = x, donc ln(e¹) = 1. On peut aussi le comprendre en disant que « le logarithme de la base vaut 1 ». De même : ln(e²) = 2, ln(e³) = 3, etc.

ln(a×b) = ?

Réponse : ln(a) + ln(b)

Le logarithme transforme un produit en somme : ln(a×b) = ln(a) + ln(b). C'est la propriété fondamentale du logarithme, héritée de la relation eᵃ⁺ᵇ = eᵃ × eᵇ. ATTENTION à l'erreur classique : ln(a+b) ≠ ln(a) + ln(b) ! Le ln « distribue » sur les produits, JAMAIS sur les sommes.

La dérivée de ln(x) est :

Réponse : 1/x

(ln x)' = 1/x pour tout x > 0. C'est une formule fondamentale à connaître par cœur. Plus généralement, la dérivée de ln(u) est u'/u (formule de la dérivée composée). Par exemple : [ln(3x+1)]' = 3/(3x+1). Cette dérivée 1/x étant toujours positive pour x > 0, cela confirme que ln est strictement croissante.

Résumé

Questions fréquentes

Les points clés à retenir sur Logarithme népérien, extraits du quiz de révision.

ln(1) = ?

Réponse : 0

ln(e) = ?

Réponse : 1

ln(a×b) = ?

Réponse : ln(a) + ln(b)

La dérivée de ln(x) est :

Réponse : 1/x

Logarithme népérien

Résumé

Définition et relation avec l'exponentielle

Propriétés algébriques

Dérivée et étude de fonctions

Limites et croissances comparées

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