Le produit (x − 1)(x + 3) est positif pour :

x ∈ ]−∞ ; −3[ ∪ ]1 ; +∞[

Le produit (x − 1)(x + 3) est positif pour :

x ∈ ]−∞ ; −3[ ∪ ]1 ; +∞[. Les racines sont x = 1 et x = −3. Le tableau de signes : (x−1) est − avant 1, + après. (x+3) est − avant −3, + après. Le produit est + quand les deux facteurs ont le même signe : sur ]−∞ ; −3[ les deux sont négatifs (produit +), sur ]−3 ; 1[ les signes diffèrent (produit −), sur ]1 ; +∞[ les deux sont positifs (produit +).

Quelle valeur est interdite pour (3x + 6)/(x − 2) ?

x = 2. Le dénominateur x − 2 ne doit jamais s'annuler (division par zéro impossible). x − 2 = 0 donne x = 2, donc x = 2 est la valeur interdite. On la note par une double barre dans le tableau de signes. x = −2 annule le numérateur, ce qui est autorisé (la fraction vaut alors 0).

Résoudre 5 − 4x < 13 :

x > −2. 5 − 4x 8/(−4) → x > −2. On divise par −4 (négatif), donc on inverse le sens de l'inégalité. Solution : ]−2 ; +∞[.

[1 ; 5] ∩ [3 ; 8] = ?

[3 ; 5]. L'intersection (∩) contient les valeurs communes aux deux intervalles. Les nombres qui sont à la fois dans [1 ; 5] ET dans [3 ; 8] sont ceux de [3 ; 5]. On prend le plus grand des débuts (3) et le plus petit des fins (5).

Le signe de −3x + 12 sur ]4 ; +∞[ est :

Négatif. La racine de −3x + 12 est x = 12/3 = 4. Le coefficient de x est −3 < 0, donc l'expression est positive avant la racine et négative après. Sur ]4 ; +∞[, l'expression est donc strictement négative.

Résoudre (x − 5)/(x + 1) ≤ 0. La solution est :

]−1 ; 5]. Les racines sont x = 5 (numérateur) et x = −1 (dénominateur, valeur interdite). Tableau de signes : sur ]−∞ ; −1[, les deux facteurs sont négatifs → quotient positif. Sur ]−1 ; 5[, signes différents → quotient négatif. Sur ]5 ; +∞[, les deux positifs → quotient positif. Pour ≤ 0, on prend ]−1 ; 5]. On inclut x = 5 (le quotient vaut 0) mais on exclut x = −1 (valeur interdite).

Mathématiques — Nombres et calculs

Inéquations du premier degré

Q: Résoudre 3x − 9 > 0 :

x > 3. 3x − 9 > 0 → 3x > 9 → x > 9/3 → x > 3. On ajoute 9 des deux côtés puis on divise par 3 (positif, donc le sens ne change pas). Solution : ]3 ; +∞[.

Q: Résoudre −2x ≥ 8 :

x ≤ −4. −2x ≥ 8 → on divise par −2 et on INVERSE le sens : x ≤ −4. C'est la règle fondamentale : diviser par un nombre négatif inverse le sens de l'inégalité. Solution : ]−∞ ; −4].

Q: L'intervalle ]2 ; +∞[ signifie :

x > 2. Le crochet ouvert ] devant 2 signifie que 2 est exclu. ]2 ; +∞[ rassemble tous les réels strictement supérieurs à 2, soit x > 2. Si 2 était inclus, on écrirait [2 ; +∞[ pour x ≥ 2.

Q: L'expression 2x − 6 est positive pour :

x > 3. 2x − 6 > 0 → 2x > 6 → x > 3. On peut aussi raisonner avec le tableau de signes : la racine est x = 3, et comme le coefficient de x est positif (a = 2 > 0), l'expression est négative avant 3 et positive après 3.

Q: Résoudre (x − 5)/(x + 1) ≤ 0. La solution est :

]−1 ; 5]. Les racines sont x = 5 (numérateur) et x = −1 (dénominateur, valeur interdite). Tableau de signes : sur ]−∞ ; −1[, les deux facteurs sont négatifs → quotient positif. Sur ]−1 ; 5[, signes différents → quotient négatif. Sur ]5 ; +∞[, les deux positifs → quotient positif. Pour ≤ 0, on prend ]−1 ; 5]. On inclut x = 5 (le quotient vaut 0) mais on exclut x = −1 (valeur interdite).

Résolution d'inéquations, tableaux de signes, signe d'un produit/quotient

Résumé synthétiqueFiche en 5 sectionsQuiz de 12 questionsGratuit, sans pub

Résumé

Une inéquation est une inégalité contenant une inconnue, par exemple 3x − 7 > 5. La résoudre, c'est trouver toutes les valeurs de x qui la vérifient. On procède comme pour une équation en isolant x, avec une règle cruciale : quand on multiplie ou divise par un nombre négatif, on inverse le sens de l'inégalité. Par exemple, −2x > 6 donne x < −3 (on divise par −2 et on retourne le signe). Le résultat s'exprime sous forme d'intervalle : x > 2 s'écrit x ∈ ]2 ; +∞[. Les tableaux de signes permettent d'étudier le signe d'un produit ou d'un quotient : on étudie le signe de chaque facteur séparément, puis on applique la règle des signes. Par exemple, pour (2x − 4)(x + 3) ≥ 0, on cherche les racines x = 2 et x = −3, on construit le tableau de signes, et la solution est ]−∞ ; −3] ∪ [2 ; +∞[.

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Fonction Probabilité Vecteur

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Questions fréquentes

Les points clés à retenir sur Inéquations du premier degré, extraits du quiz de révision.

Résoudre 3x − 9 > 0 :

Réponse : x > 3

3x − 9 > 0 → 3x > 9 → x > 9/3 → x > 3. On ajoute 9 des deux côtés puis on divise par 3 (positif, donc le sens ne change pas). Solution : ]3 ; +∞[.

Résoudre −2x ≥ 8 :

Réponse : x ≤ −4

−2x ≥ 8 → on divise par −2 et on INVERSE le sens : x ≤ −4. C'est la règle fondamentale : diviser par un nombre négatif inverse le sens de l'inégalité. Solution : ]−∞ ; −4].

L'intervalle ]2 ; +∞[ signifie :

Réponse : x > 2

Le crochet ouvert ] devant 2 signifie que 2 est exclu. ]2 ; +∞[ rassemble tous les réels strictement supérieurs à 2, soit x > 2. Si 2 était inclus, on écrirait [2 ; +∞[ pour x ≥ 2.

L'expression 2x − 6 est positive pour :

Réponse : x > 3

2x − 6 > 0 → 2x > 6 → x > 3. On peut aussi raisonner avec le tableau de signes : la racine est x = 3, et comme le coefficient de x est positif (a = 2 > 0), l'expression est négative avant 3 et positive après 3.

Résumé

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Les points clés à retenir sur Inéquations du premier degré, extraits du quiz de révision.

Résoudre 3x − 9 > 0 :

Réponse : x > 3

3x − 9 > 0 → 3x > 9 → x > 9/3 → x > 3. On ajoute 9 des deux côtés puis on divise par 3 (positif, donc le sens ne change pas). Solution : ]3 ; +∞[.

Résoudre −2x ≥ 8 :

Réponse : x ≤ −4

−2x ≥ 8 → on divise par −2 et on INVERSE le sens : x ≤ −4. C'est la règle fondamentale : diviser par un nombre négatif inverse le sens de l'inégalité. Solution : ]−∞ ; −4].

L'intervalle ]2 ; +∞[ signifie :

Réponse : x > 2

Le crochet ouvert ] devant 2 signifie que 2 est exclu. ]2 ; +∞[ rassemble tous les réels strictement supérieurs à 2, soit x > 2. Si 2 était inclus, on écrirait [2 ; +∞[ pour x ≥ 2.

L'expression 2x − 6 est positive pour :

Réponse : x > 3

Inéquations du premier degré

Résumé

Résolution d'une inéquation du 1er degré

Écriture des solutions avec les intervalles

Tableau de signes d'une expression ax + b

Signe d'un produit et d'un quotient

Méthode complète et erreurs fréquentes

Quiz - Inéquations du premier degré

Notions clés — Mathématiques

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