Mathématiques — Nombres et calculs
Inéquations du premier degré
Résolution d'inéquations, tableaux de signes, signe d'un produit/quotient
Résumé synthétiqueFiche en 5 sectionsQuiz de 10 questionsGratuit, sans pub
Résumé
Une **inéquation** ressemble à une équation, mais avec un signe d'inégalité : $3x - 7 > 5$. La résoudre, c'est trouver **toutes** les valeurs de $x$ qui la satisfont — souvent une infinité, qu'on décrit par un **intervalle**. La méthode reprend celle des équations, avec une règle d'or à ne jamais oublier : **multiplier ou diviser par un nombre négatif inverse le sens de l'inégalité**. Au-delà, les **tableaux de signes** permettent d'étudier le signe d'un produit ou d'un quotient comme $(2x-4)(x+3)$ et de résoudre des inéquations plus riches. Un outil omniprésent au lycée : comparer deux tarifs, déterminer un domaine, étudier le signe d'une fonction.
Résoudre une inéquation, c'est **isoler $x$** exactement comme pour une équation : on ajoute, on soustrait, on multiplie, on divise des deux côtés. Une seule différence, mais capitale : si on multiplie ou divise par un nombre **négatif**, le sens de l'inégalité **se retourne**.
- **Ajouter / soustraire** un même nombre des deux côtés **ne change pas** le sens.
- **Multiplier / diviser par un positif** ne change pas le sens non plus.
- **Règle d'or :** multiplier ou diviser par un **négatif inverse** le sens ($<$ devient $>$).
- Sans inversion : $3x - 7 > 5 \Rightarrow 3x > 12 \Rightarrow x > 4$.
- Avec inversion : $-2x + 1 \leq 7 \Rightarrow -2x \leq 6 \Rightarrow x \geq -3$.
Exemple
Résolvons $5 - 4x < 13$. On retranche $5$ : $-4x < 8$. On divise par $-4$ (négatif), donc on inverse le sens : $x > \dfrac{8}{-4}$, soit $x > -2$. Solution : $]-2\,;+\infty[$.
Piège à éviter
L'oubli n°1 : diviser par un négatif **sans** retourner le signe. Réflexe : dès qu'un nombre négatif passe en facteur ou en diviseur, le sens de l'inégalité bascule.
La solution d'une inéquation est rarement un seul nombre : c'est tout un **intervalle**. Les **crochets** disent si une borne est incluse (crochet fermé) ou exclue (crochet ouvert). Vers l'infini, le crochet est **toujours ouvert** : on n'atteint jamais $+\infty$.
- $x > a$ s'écrit $]a\,;+\infty[$ ; $x \geq a$ s'écrit $[a\,;+\infty[$ (borne incluse).
- $x < a$ s'écrit $]-\infty\,;a[$ ; $x \leq a$ s'écrit $]-\infty\,;a]$.
- $a < x < b$ s'écrit $]a\,;b[$ (intervalle ouvert aux deux bouts).
- **Intersection (ET) :** $[1\,;5] \cap [3\,;8] = [3\,;5]$ — les valeurs communes.
- **Réunion (OU) :** $]-\infty\,;2] \cup [5\,;+\infty[$ — l'un **ou** l'autre.
Exemple
Traduisons « $x$ compris entre $-1$ inclus et $4$ exclu ». Cela s'écrit $-1 \leq x < 4$, soit l'intervalle $[-1\,;4[$.
Piège à éviter
Crochet **ouvert** pour une borne exclue ($<$, $>$), **fermé** pour une borne incluse ($\leq$, $\geq$). Et toujours ouvert du côté de $+\infty$ ou $-\infty$.
Avant d'étudier des produits, il faut savoir lire le signe d'une expression simple $ax + b$. Tout bascule à sa **racine** $x_0 = -\dfrac{b}{a}$ : avant, un signe ; après, l'autre. Lequel ? Le signe de $a$ donne le signe **à droite** de la racine.
- $ax + b$ s'annule en $x_0 = -\dfrac{b}{a}$ (la **racine**).
- Si $a > 0$ : **négatif avant** $x_0$, **positif après**.
- Si $a < 0$ : **positif avant** $x_0$, **négatif après**.
- Mémo : « le signe **après** la racine est le signe de $a$ ».
- Exemple : $-3x + 9$ a pour racine $x_0 = 3$ ; comme $a = -3 < 0$, il est positif sur $]-\infty\,;3[$ puis négatif sur $]3\,;+\infty[$.
Exemple
Étudions $2x - 6$. Racine : $2x - 6 = 0 \Rightarrow x_0 = 3$. Comme $a = 2 > 0$, l'expression est négative sur $]-\infty\,;3[$ et positive sur $]3\,;+\infty[$.
Piège à éviter
Le signe **dépend du signe de $a$**. Avec $a < 0$, l'ordre s'inverse : ne recopie pas mécaniquement « négatif puis positif ».
Pour le signe d'un **produit** ou d'un **quotient**, on étudie chaque facteur séparément, puis on applique la **règle des signes** ligne par ligne dans un tableau. Le produit de deux négatifs étant positif, plusieurs intervalles de solutions peuvent apparaître.
- **Règle des signes :** $(+)(+) = +$, $(+)(-) = -$, $(-)(-) = +$.
- **Produit $(ax+b)(cx+d)$ :** une ligne de signes par facteur, puis on multiplie colonne par colonne.
- **Quotient :** même méthode, mais le dénominateur ne doit **jamais** s'annuler (**valeur interdite**).
- Un produit **peut** valoir $0$ (on inclut les racines avec $\geq$ ou $\leq$) ; un quotient ne s'annule jamais par son dénominateur.
- On marque la valeur interdite d'une **double barre** dans le tableau.
Exemple
Résolvons $(2x-4)(x+3) > 0$. Racines : $x = 2$ et $x = -3$. Le tableau donne $+$ sur $]-\infty\,;-3[$, $-$ sur $]-3\,;2[$, $+$ sur $]2\,;+\infty[$. Solution : $]-\infty\,;-3[ \cup ]2\,;+\infty[$.
Piège à éviter
Pour un quotient, **n'inclus jamais** la valeur interdite, même avec $\leq$ ou $\geq$ : elle annule le dénominateur, donc la fraction n'existe pas en ce point.
Une fois la méthode rodée, résoudre une inéquation-produit devient mécanique. Voici les **cinq étapes** à dérouler dans l'ordre, et les trois erreurs qui coûtent le plus de points.
- **Étape 1 :** trouver la racine de chaque facteur.
- **Étape 2 :** ranger les racines dans l'ordre croissant sur la ligne des $x$.
- **Étape 3 :** donner le signe de chaque facteur sur chaque intervalle.
- **Étape 4 :** multiplier les signes (produit) ou les diviser (quotient).
- **Étape 5 :** lire la solution selon l'inégalité demandée ($> 0$, $\leq 0$, etc.).
Exemple
Pour $(x-5)(x+1) \leq 0$ : racines $5$ et $-1$. Signes du produit : $+$ sur $]-\infty\,;-1[$, $-$ sur $]-1\,;5[$, $+$ sur $]5\,;+\infty[$. Comme on veut $\leq 0$, la solution est $[-1\,;5]$ (racines incluses car le produit y vaut $0$).
Piège à éviter
Trois pièges récurrents : oublier d'inverser le sens en multipliant par un négatif, inclure une valeur interdite d'un quotient, et confondre $\cap$ (intersection, ET) avec $\cup$ (réunion, OU).
Quiz - Inéquations du premier degré
10 questions
Notions clés — Mathématiques
Articles utiles
Questions fréquentes
Les points clés à retenir sur Inéquations du premier degré, extraits du quiz de révision.
Résoudre $3x - 9 > 0$ :
Réponse :
$x > 3$
$3x - 9 > 0 \Rightarrow 3x > 9 \Rightarrow x > 3$. On ajoute $9$ des deux côtés, puis on divise par $3$ (positif), donc le sens ne change pas. Solution : $]3\,;+\infty[$.
L'intervalle $]2\,;+\infty[$ signifie :
Réponse :
$x > 2$
Le crochet ouvert devant $2$ exclut cette valeur : $]2\,;+\infty[$ rassemble tous les réels strictement supérieurs à $2$, soit $x > 2$. Si $2$ était inclus, on écrirait $[2\,;+\infty[$ pour $x \geq 2$.
Résoudre $-2x \geq 8$ :
Réponse :
$x \leq -4$
On divise par $-2$ et on **inverse** le sens : $x \leq -4$. Diviser par un nombre négatif retourne l'inégalité. Solution : $]-\infty\,;-4]$.
L'expression $2x - 6$ est positive pour :
Réponse :
$x > 3$
$2x - 6 > 0 \Rightarrow x > 3$. Par le tableau de signes : la racine est $x_0 = 3$, et comme $a = 2 > 0$, l'expression est négative avant $3$ puis positive après.