Équations différentielles et primitives

Dériver, vous savez faire. Mais sait-on **remonter** le courant ? Trouver une fonction $F$ dont la dérivée est une fonction $f$ donnée, c'est chercher une **primitive** : $F' = f$. Toute fonction continue en possède, et deux primitives ne diffèrent que d'une **constante** $C$. On apprend un petit catalogue de primitives usuelles (celle de $x^n$ est $\dfrac{x^{n+1}}{n+1}$, celle de $\dfrac{1}{x}$ est $\ln|x|$, celle de $e^x$ est $e^x$). Cette mécanique débloque les **équations différentielles** : des équations dont l'inconnue n'est plus un nombre mais une **fonction**, reliée à sa dérivée. Deux modèles dominent le programme : $y' = ay$, dont les solutions sont les exponentielles $y = C\,e^{ax}$, et $y' = ay + b$, dont les solutions sont $y = C\,e^{ax} - \dfrac{b}{a}$. Une **condition initiale** $y(x_0) = y_0$ fixe la constante $C$ et désigne l'unique solution. C'est le langage de la radioactivité, de la croissance des populations et du refroidissement.