Maths (Spé) — Analyse
Dérivées des fonctions usuelles et opérations
Dérivées de x^n, 1/x, √x et règles de calcul sur les dérivées
Résumé synthétiqueFiche en 4 sectionsQuiz de 10 questionsGratuit, sans pub
Résumé
Pour calculer la **dérivée** d'une fonction, on utilise un **tableau de dérivées usuelles** et des **règles d'opérations**. Les dérivées de base sont : si $f(x) = c$ (constante), $f'(x) = 0$ ; si $f(x) = x$, $f'(x) = 1$ ; si $f(x) = x^n$, $f'(x) = nx^{n-1}$ ; si $f(x) = \dfrac{1}{x}$, $f'(x) = -\dfrac{1}{x^2}$ ; si $f(x) = \sqrt{x}$, $f'(x) = \dfrac{1}{2\sqrt{x}}$. Les règles d'opérations sont : $(u + v)' = u' + v'$ (somme), $(ku)' = ku'$ (multiplication par un réel), $(uv)' = u'v + uv'$ (produit). Par exemple, pour $f(x) = 3x^2 + 5x - 2$, on obtient $f'(x) = 6x + 5$. Ces outils permettent de dériver toute combinaison de fonctions polynômes et de fonctions usuelles, ce qui est indispensable pour étudier les **variations** d'une fonction.
Le **tableau des dérivées usuelles** est la boîte à outils de base. Le connaître par cœur est indispensable : chaque exercice de dérivation commence par l'identification de la fonction usuelle à dériver.
- $f(x) = c$ (constante) $\to f'(x) = 0$. La pente d'une droite horizontale est nulle.
- $f(x) = x \to f'(x) = 1$. La pente de la droite $y = x$ est $1$.
- $f(x) = x^n$ ($n$ entier $\geq 1$) $\to f'(x) = nx^{n-1}$. Exemple : $(x^4)' = 4x^3$.
- $f(x) = \dfrac{1}{x}$ ($x \neq 0$) $\to f'(x) = -\dfrac{1}{x^2}$. Attention au **signe négatif** !
- $f(x) = \sqrt{x}$ ($x > 0$) $\to f'(x) = \dfrac{1}{2\sqrt{x}}$. Exemple : $f'(4) = \dfrac{1}{2 \times 2} = \dfrac{1}{4}$.
- **Moyen mnémotechnique** pour $x^n$ : on descend l'exposant et on diminue de $1$. Exemple : $x^5 \to 5x^4$.
- Cas particuliers utiles : $(x^2)' = 2x$, $(x^3)' = 3x^2$.
Exemple
Dériver $f(x) = 4x^3$ : on reconnaît la forme $ax^n$. La dérivée de $x^3$ est $3x^2$, et le coefficient $4$ reste devant. Donc $f'(x) = 4 \times 3x^2 = 12x^2$. Vérification : $f'(1) = 12$ et $f(1{,}01) - f(1) \approx 4 \times 1{,}0303 - 4 = 0{,}1212 \approx 12 \times 0{,}01$.
Piège à éviter
Pour $f(x) = \dfrac{1}{x}$, la dérivée est $-\dfrac{1}{x^2}$, **pas** $\dfrac{1}{x^2}$. Le signe négatif est systématiquement oublié. Astuce : $\dfrac{1}{x}$ décroît pour $x > 0$, donc sa dérivée doit être **négative**. Si votre dérivée est positive, c'est qu'il manque le moins !
Les **règles d'opérations** permettent de dériver des combinaisons de fonctions. La somme et le produit par un réel sont simples, mais la formule du **produit** demande plus d'attention.
- **Somme** : $(u + v)' = u' + v'$. On dérive terme à terme.
- **Multiplication par un réel** : $(ku)' = ku'$. Le coefficient reste devant.
- **Combinaison** : $(au + bv)' = au' + bv'$ (linéarité de la dérivation).
- Exemple : $f(x) = 3x^2 - 7x + 4 \to f'(x) = 3 \times 2x - 7 \times 1 + 0 = 6x - 7$.
- **Produit** : $(uv)' = u'v + uv'$. Attention : on ne dérive **pas** terme à terme un produit !
- Exemple produit : $f(x) = x^2 \times \sqrt{x}$. $u = x^2$, $v = \sqrt{x}$. $f'(x) = 2x \times \sqrt{x} + x^2 \times \dfrac{1}{2\sqrt{x}} = 2x\sqrt{x} + \dfrac{x^2}{2\sqrt{x}}$.
Exemple
Dériver $f(x) = (2x + 1)(x^2 - 3)$. On pose $u = 2x + 1$, $v = x^2 - 3$. Donc $u' = 2$, $v' = 2x$. Formule du produit : $f'(x) = u'v + uv' = 2(x^2 - 3) + (2x + 1)(2x) = 2x^2 - 6 + 4x^2 + 2x = 6x^2 + 2x - 6$.
Piège à éviter
L'erreur fatale : écrire $(uv)' = u' \times v'$. C'est **faux**. La bonne formule est $(uv)' = u'v + uv'$. Moyen mnémotechnique : « la dérivée du premier fois le second, plus le premier fois la dérivée du second ».
Les polynômes se dérivent **terme à terme**, ce qui en fait les fonctions les plus simples à dériver. C'est aussi un excellent exercice pour vérifier la maîtrise des formules de base.
- Un polynôme se dérive **terme à terme** : chaque monôme $ax^n$ donne $anx^{n-1}$.
- Exemple : $f(x) = 2x^3 - 5x^2 + 3x - 1 \to f'(x) = 6x^2 - 10x + 3$.
- Le **terme constant disparaît** toujours (sa dérivée vaut $0$).
- Le degré de $f'$ est le degré de $f$ diminué de $1$ (pour un polynôme de degré $\geq 1$).
- Vérification : $f(x) = x^2 + 1 \to f'(x) = 2x$. En $x = 0$, $f'(0) = 0$, cohérent avec le minimum de la parabole.
- Pour une fonction affine $f(x) = mx + p$, $f'(x) = m$ : la dérivée est le **coefficient directeur**.
Exemple
Dériver $f(x) = 2x^4 - 5x^3 + 3x^2 - 7x + 1$. Terme par terme : $(2x^4)' = 8x^3$, $(-5x^3)' = -15x^2$, $(3x^2)' = 6x$, $(-7x)' = -7$, $(1)' = 0$. Donc $f'(x) = 8x^3 - 15x^2 + 6x - 7$. Le polynôme de degré $4$ donne une dérivée de degré $3$.
Piège à éviter
Le **terme constant disparaît** toujours à la dérivation ! Si $f(x) = x^2 + 100$, alors $f'(x) = 2x$ (pas $2x + 100$). Inversement, si on connaît $f'(x) = 2x$, on ne peut pas retrouver la constante : $f(x) = x^2 + C$ pour n'importe quel $C$.
Voici les réflexes à acquérir et les erreurs à éviter pour réussir les exercices de dérivation. Prenez le temps de bien poser vos calculs étape par étape.
- Toujours réécrire la fonction sous une forme dérivable : $\dfrac{1}{x} = x^{-1}$, $\sqrt{x} = x^{1/2}$.
- Ne pas confondre $(2x)^2 = 4x^2$ et $2x^2$ : la dérivée de $4x^2$ est $8x$, celle de $2x^2$ est $4x$.
- Pour le produit, écrire séparément $u$, $v$, $u'$, $v'$ avant de remplacer dans $u'v + uv'$.
- **Simplifier** le résultat : factoriser ou réduire l'expression de $f'(x)$.
- Vérifier le résultat en testant une valeur numérique ou en vérifiant la cohérence avec le graphique.
Exemple
Dériver $f(x) = \dfrac{3}{x} + 2\sqrt{x}$. On réécrit : $f(x) = 3 \times \dfrac{1}{x} + 2 \times \sqrt{x}$. Donc $f'(x) = 3 \times \left(-\dfrac{1}{x^2}\right) + 2 \times \dfrac{1}{2\sqrt{x}} = -\dfrac{3}{x^2} + \dfrac{1}{\sqrt{x}}$. En $x = 1$ : $f'(1) = -3 + 1 = -2$. Vérifions : $f(1) = 5$, $f(1{,}01) \approx 4{,}9803$, $\dfrac{4{,}9803-5}{0{,}01} \approx -1{,}97 \approx -2$.
Piège à éviter
Avant de dériver, **toujours réécrire** la fonction sous forme dérivable. Par exemple : $\dfrac{3}{x^2} = 3x^{-2}$ (dérivée : $-6x^{-3} = -\dfrac{6}{x^3}$). Si vous essayez de dériver $\dfrac{3}{x^2}$ directement sans réécrire, vous risquez de mélanger les formules.
Quiz - Dérivées des fonctions usuelles et opérations
10 questions
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Notions clés — Maths (Spé)
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Questions fréquentes
Les points clés à retenir sur Dérivées des fonctions usuelles et opérations, extraits du quiz de révision.
La dérivée de $f(x) = x^5$ est :
Réponse :
$5x^4$
On applique la formule $(x^n)' = nx^{n-1}$ : $(x^5)' = 5x^4$.
La dérivée de $f(x) = 3x^2 + 2x - 7$ est :
Réponse :
$6x + 2$
$f'(x) = 3 \times 2x + 2 \times 1 - 0 = 6x + 2$.
La dérivée de $f(x) = \dfrac{1}{x}$ est :
Réponse :
$-\dfrac{1}{x^2}$
$\left(\dfrac{1}{x}\right)' = -\dfrac{1}{x^2}$. Le signe négatif est essentiel.
La dérivée de $f(x) = \sqrt{x}$ est :
Réponse :
$\dfrac{1}{2\sqrt{x}}$
$(\sqrt{x})' = \dfrac{1}{2\sqrt{x}}$. En $x = 1$, $f'(1) = \dfrac{1}{2}$.