Maths (Spé) — Analyse
Applications de la dérivation
Signe de la dérivée, variations, extremums et problèmes d'optimisation
Résumé synthétiqueFiche en 4 sectionsQuiz de 11 questionsGratuit, sans pub
Résumé
La dérivée permet d'étudier les **variations** d'une fonction : si $f'(x) > 0$ sur un intervalle, alors $f$ est strictement **croissante** sur cet intervalle ; si $f'(x) < 0$, $f$ est strictement **décroissante**. Un **extremum local** (maximum ou minimum) ne peut se produire qu'en un point où $f'(a) = 0$ (condition nécessaire), avec un **changement de signe** de $f'$. Par exemple, pour $f(x) = x^3 - 3x$, on calcule $f'(x) = 3x^2 - 3 = 3(x-1)(x+1)$. $f'$ s'annule en $x = -1$ et $x = 1$ : $f$ admet un maximum local en $x = -1$ ($f(-1) = 2$) et un minimum local en $x = 1$ ($f(1) = -2$). La dérivation permet aussi de résoudre des problèmes d'**optimisation** concrets, comme maximiser une aire ou minimiser un coût.
Le lien entre le **signe de la dérivée** et les **variations** est **le** résultat central du chapitre. Il transforme un problème d'analyse (variations) en un problème d'algèbre (signe d'une expression).
- **Théorème fondamental** : si $f'(x) > 0$ sur un intervalle $I$, alors $f$ est strictement **croissante** sur $I$.
- Si $f'(x) < 0$ sur $I$, alors $f$ est strictement **décroissante** sur $I$.
- Si $f'(x) = 0$ sur $I$, alors $f$ est **constante** sur $I$.
- Attention : $f'(a) = 0$ en un point isolé ne signifie **pas** que $f$ est constante (exemple : $f(x) = x^3$, $f'(0) = 0$ mais $f$ est croissante).
- **Méthode** : calculer $f'(x)$, résoudre $f'(x) = 0$, étudier le signe de $f'(x)$, dresser le tableau de variations.
- Exemple : $f(x) = x^2 - 4x + 3$. $f'(x) = 2x - 4 = 0 \to x = 2$. $f' < 0$ sur $]-\infty\,;2[$, $f' > 0$ sur $]2\,;+\infty[$.
Exemple
Soit $f(x) = x^3 - 3x + 1$. On calcule $f'(x) = 3x^2 - 3 = 3(x^2 - 1) = 3(x - 1)(x + 1)$. $f'(x) = 0$ pour $x = -1$ et $x = 1$. $f' > 0$ sur $]-\infty\,;-1[$, $f' < 0$ sur $]-1\,;1[$, $f' > 0$ sur $]1\,;+\infty[$. Donc $f$ est croissante, puis décroissante, puis croissante.
Piège à éviter
$f'(a) > 0$ signifie que $f$ est **croissante** au voisinage de $a$, pas que $f(a)$ est positif ! Le signe de $f'$ renseigne sur les **variations** de $f$, pas sur le **signe** de $f$. Ne confondez jamais « $f$ croissante » et « $f$ positive ».
Les **extremums** (maxima et minima) sont les points les plus importants du tableau de variations. Ils se trouvent là où la dérivée **s'annule ET change de signe**.
- Un **maximum local** de $f$ en $a$ : $f(a) \geq f(x)$ pour tout $x$ au voisinage de $a$.
- Un **minimum local** de $f$ en $a$ : $f(a) \leq f(x)$ pour tout $x$ au voisinage de $a$.
- **Condition nécessaire** : si $f$ admet un extremum en $a$ et si $f$ est dérivable en $a$, alors $f'(a) = 0$.
- Attention : $f'(a) = 0$ n'implique **pas** forcément un extremum ! (Contre-exemple : $f(x) = x^3$ en $a = 0$.)
- **Condition suffisante** : si $f'$ **change de signe** en $a$ (passage $+$ à $- \to$ maximum ; passage $-$ à $+ \to$ minimum).
- Pour trouver le maximum ou minimum **global** sur $[a\,;b]$ : comparer $f$ aux points critiques ($f' = 0$) et aux bornes $a$ et $b$.
- **Astuce** : le tableau de variations montre directement les extremums locaux.
Exemple
Pour $f(x) = x^3 - 3x + 1$ : $f'(x) = 3(x-1)(x+1)$. En $x = -1$ : $f'$ passe de $+$ à $- \to$ maximum local, $f(-1) = -1 + 3 + 1 = 3$. En $x = 1$ : $f'$ passe de $-$ à $+ \to$ minimum local, $f(1) = 1 - 3 + 1 = -1$. Maximum local : $3$ en $x = -1$, minimum local : $-1$ en $x = 1$.
Piège à éviter
$f'(a) = 0$ est **nécessaire** mais **pas suffisant** pour un extremum ! Contre-exemple classique : $f(x) = x^3$, $f'(0) = 0$ mais $f$ n'a **pas** d'extremum en $0$ ($f$ est croissante). Il faut vérifier le **changement de signe** de $f'$.
Le **tableau de variations** est l'outil de synthèse qui rassemble toutes les informations sur la fonction. Savoir le construire rigoureusement est essentiel pour le Bac.
- **Ligne 1** : valeurs de $x$, avec les bornes et les valeurs où $f'$ s'annule.
- **Ligne 2** : signe de $f'(x)$ ($+$ ou $-$) avec $0$ aux points d'annulation.
- **Ligne 3** : variations de $f$ (flèche montante $\nearrow$ si $f' > 0$, descendante $\searrow$ si $f' < 0$) avec les valeurs de $f$.
- Exemple complet : $f(x) = -x^2 + 6x - 5 \to f'(x) = -2x + 6 = 0$ en $x = 3$. $f' > 0$ sur $]-\infty\,;3[$, $f' < 0$ sur $]3\,;+\infty[$. Maximum en $x = 3$ : $f(3) = 4$.
- Ne pas oublier les **valeurs de $f$ aux bornes** du domaine si elles sont finies.
Exemple
Pour $f(x) = -x^2 + 6x - 5$ sur $\mathbb{R}$ : $f'(x) = -2x + 6 = 0 \to x = 3$. $f'(x) > 0$ pour $x < 3$, $f'(x) < 0$ pour $x > 3$. Tableau : $f$ croissante sur $]-\infty\,;3]$, décroissante sur $[3\,;+\infty[$. Maximum en $x = 3$ : $f(3) = -9 + 18 - 5 = 4$.
Piège à éviter
N'oubliez pas de calculer les **valeurs de $f$** aux points critiques et aux bornes. Un tableau de variations incomplet (sans les valeurs de $f$) ne rapporte pas tous les points au Bac. Indiquez toujours $f(a)$ en face de chaque valeur remarquable de $x$.
L'**optimisation** est l'application concrète de la dérivation : maximiser un profit, minimiser un coût, trouver les dimensions optimales. C'est un type d'exercice très fréquent au Bac.
- **Étape 1** : identifier la grandeur à optimiser et l'exprimer en fonction d'une seule variable $x$.
- **Étape 2** : déterminer l'intervalle de définition (contraintes du problème).
- **Étape 3** : dériver, chercher les points critiques ($f' = 0$), dresser le tableau de variations.
- **Étape 4** : en déduire le maximum ou minimum et répondre au problème.
- Exemple classique : maximiser l'aire d'un rectangle de périmètre fixé $20$. Aire $A(x) = x(10-x) = -x^2 + 10x$, $A'(x) = -2x + 10 = 0 \to x = 5$. Aire max $= 25$ (carré).
- Toujours vérifier que le point critique trouvé est bien **dans le domaine** de la variable.
- Conclure avec une phrase répondant à la question posée (ne pas oublier les **unités**).
Exemple
Un fermier veut clôturer un enclos rectangulaire avec $40$ m de clôture contre un mur ($3$ côtés seulement). Si $x$ est la largeur, la longueur est $40 - 2x$. Aire : $A(x) = x(40 - 2x) = -2x^2 + 40x$, pour $x \in\,]0\,;20[$. $A'(x) = -4x + 40 = 0 \to x = 10$. $A(10) = 200$ m². L'enclos optimal est $10$ m $\times$ $20$ m.
Piège à éviter
Dans un problème d'optimisation, n'oubliez pas de vérifier le **domaine** de la variable. Si $x$ représente une longueur, $x > 0$ obligatoirement. De plus, le maximum trouvé par la dérivée doit être **dans le domaine**. Concluez toujours par une phrase avec les unités.
Quiz - Applications de la dérivation
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Questions fréquentes
Les points clés à retenir sur Applications de la dérivation, extraits du quiz de révision.
Si $f'(x) > 0$ sur un intervalle $I$, alors $f$ est :
Réponse :
Croissante sur $I$
C'est le théorème fondamental : $f'(x) > 0 \Rightarrow f$ strictement **croissante**.
Soit $f(x) = x^2 - 6x + 8$. $f'(x) = 0$ pour :
Réponse :
$x = 3$
$f'(x) = 2x - 6$. $2x - 6 = 0 \to x = 3$.
Pour $f(x) = x^2 - 6x + 8$, le point $x = 3$ est :
Réponse :
Un minimum local
$f'$ change de signe de négatif à positif en $x = 3$ ($f'(x) = 2x - 6 < 0$ pour $x < 3$, $> 0$ pour $x > 3$) : c'est un **minimum local**.
$f(x) = x^3$ admet en $x = 0$ :
Réponse :
Aucun extremum
$f'(x) = 3x^2 \geq 0$ partout et $f'(0) = 0$, mais $f'$ ne change pas de signe : $f$ est croissante. **Pas d'extremum** en $0$.