Résumé
La dérivée permet d'étudier les variations d'une fonction : si f'(x) > 0 sur un intervalle, alors f est strictement croissante sur cet intervalle ; si f'(x) < 0, f est strictement décroissante. Un extremum local (maximum ou minimum) ne peut se produire qu'en un point où f'(a) = 0 (condition nécessaire), avec un changement de signe de f'. Par exemple, pour f(x) = x³ - 3x, on calcule f'(x) = 3x² - 3 = 3(x-1)(x+1). f' s'annule en x = -1 et x = 1 : f admet un maximum local en x = -1 (f(-1) = 2) et un minimum local en x = 1 (f(1) = -2). La dérivation permet aussi de résoudre des problèmes d'optimisation concrets, comme maximiser une aire ou minimiser un coût.