Maths (Spé) — Analyse
Dérivation : nombre dérivé et tangente
Taux de variation, nombre dérivé, équation de la tangente à une courbe
Résumé synthétiqueFiche en 4 sectionsQuiz de 10 questionsGratuit, sans pub
Résumé
Le taux de variation d'une fonction f entre a et a+h est le quotient (f(a+h) - f(a)) / h : il mesure la pente moyenne de la courbe entre ces deux points. Le nombre dérivé f'(a) est la limite de ce taux de variation quand h tend vers 0. Géométriquement, f'(a) représente la pente de la tangente à la courbe de f au point d'abscisse a. L'équation de cette tangente est y = f'(a)(x - a) + f(a). Par exemple, pour f(x) = x², on a f'(a) = 2a, donc la tangente en a = 3 a pour équation y = 6(x - 3) + 9 = 6x - 9. La tangente est la meilleure approximation affine de f au voisinage de a : pour x proche de a, f(x) ≈ f'(a)(x - a) + f(a).
La dérivation est LE concept central de l'analyse en Première. Elle part d'une idée simple : mesurer la vitesse de variation d'une fonction. Le taux de variation est le point de départ.
- Le taux de variation de f entre a et a+h est τ = (f(a+h) - f(a)) / h (avec h ≠ 0)
- On l'écrit aussi τ = (f(b) - f(a)) / (b - a) entre les points d'abscisses a et b
- Interprétation graphique : c'est la pente de la sécante passant par les points (a ; f(a)) et (a+h ; f(a+h))
- Exemple : f(x) = x², τ entre 1 et 3 : (9 - 1)/(3 - 1) = 8/2 = 4
- Ce quotient mesure la variation moyenne de f sur l'intervalle [a ; a+h]
Exemple
Pour f(x) = x², calculons le taux de variation entre a = 2 et a+h avec h = 1, 0.1, 0.01 : τ(1) = (9-4)/1 = 5, τ(0.1) = (4.41-4)/0.1 = 4.1, τ(0.01) = (4.0401-4)/0.01 = 4.01. On voit que τ → 4 quand h → 0. C'est le nombre dérivé f'(2) = 4.
Piège à éviter
Le taux de variation a un SIGNE : positif si f augmente entre a et a+h, négatif si f diminue. Ne confondez pas avec la valeur absolue de la pente. Un taux de -3 signifie que f décroît avec une pente de 3.
Le nombre dérivé est la limite du taux de variation quand h tend vers 0. C'est la pente instantanée de la courbe — le concept fondamental de toute l'analyse.
- Le nombre dérivé de f en a est f'(a) = lim(h→0) (f(a+h) - f(a)) / h (si cette limite existe)
- f est dite dérivable en a si cette limite est un nombre réel fini
- Exemple : f(x) = x², f'(a) = lim(h→0) ((a+h)² - a²)/h = lim(h→0) (2ah + h²)/h = lim(h→0) (2a + h) = 2a
- Donc pour f(x) = x², f'(3) = 6 : la pente de la tangente en x = 3 est 6
- Si f est dérivable en a, alors f est continue en a (mais la réciproque est fausse)
- Exemple de non-dérivabilité : f(x) = |x| en x = 0 (point anguleux, pas de tangente unique)
Exemple
Pour f(x) = x², calculons f'(3) par la définition : f'(3) = lim(h→0) ((3+h)² - 9)/h = lim(h→0) (9 + 6h + h² - 9)/h = lim(h→0) (6h + h²)/h = lim(h→0) (6 + h) = 6. La pente de la tangente en x = 3 vaut 6.
Piège à éviter
f dérivable en a implique f continue en a, mais la réciproque est FAUSSE ! La fonction f(x) = |x| est continue en 0 mais pas dérivable (le taux de variation tend vers +1 à droite et -1 à gauche). Point anguleux = pas de tangente unique.
L'équation de la tangente est l'application directe du nombre dérivé. C'est une question incontournable au Bac : savoir l'écrire et l'utiliser pour des approximations.
- Équation de la tangente à la courbe de f au point d'abscisse a : y = f'(a)(x - a) + f(a)
- C'est une droite de pente f'(a) passant par le point (a ; f(a))
- Méthode : 1) Calculer f(a) 2) Calculer f'(a) 3) Écrire y = f'(a)(x - a) + f(a) et développer
- Exemple : f(x) = x³ en a = 1. f(1) = 1, f'(x) = 3x² donc f'(1) = 3. Tangente : y = 3(x-1) + 1 = 3x - 2
- Si f'(a) = 0, la tangente est horizontale : y = f(a). C'est le cas aux extremums locaux
- Approximation affine : pour x proche de a, f(x) ≈ f'(a)(x - a) + f(a)
- Erreur fréquente : ne pas oublier le terme f(a) dans l'équation de la tangente
Exemple
Pour f(x) = x³ en a = 1 : f(1) = 1, f'(x) = 3x² donc f'(1) = 3. Tangente : y = 3(x - 1) + 1 = 3x - 3 + 1 = 3x - 2. Vérification : en x = 1, y = 3(1) - 2 = 1 = f(1) ✓. Approximation : f(1.02) ≈ 3(1.02) - 2 = 1.06 (valeur exacte : 1.061208).
Piège à éviter
L'erreur n° 1 est d'oublier le terme + f(a) dans la formule. La tangente passe par le point (a ; f(a)), donc y = f'(a)(x - a) + f(a), PAS y = f'(a)(x - a). Vérifiez toujours qu'en remplaçant x par a, vous retrouvez bien y = f(a).
Au Bac, on demande souvent de lire graphiquement le nombre dérivé ou de tracer une tangente. Savoir passer du graphique au calcul (et inversement) est une compétence clé.
- La pente de la tangente en un point donne directement f'(a)
- Tangente montante (pente positive) → f'(a) > 0 ; tangente descendante → f'(a) < 0
- Tangente horizontale → f'(a) = 0 (candidat pour un extremum)
- Plus la tangente est raide, plus |f'(a)| est grand
- Pour estimer f'(a) graphiquement : tracer la tangente et calculer sa pente avec deux points lisibles
Exemple
Sur un graphique, la tangente en x = 2 passe par les points (2 ; 3) et (4 ; 7). La pente est (7 - 3)/(4 - 2) = 4/2 = 2, donc f'(2) = 2. En x = 5, la tangente est horizontale : f'(5) = 0, ce qui signifie un extremum local possible.
Piège à éviter
Une tangente horizontale (f'(a) = 0) ne signifie pas toujours un extremum ! Exemple : pour f(x) = x³, f'(0) = 0 mais la fonction est croissante avant et après 0. Il faut vérifier le changement de signe de f'.
Quiz - Nombre dérivé et tangente
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Questions fréquentes
Les points clés à retenir sur Dérivation : nombre dérivé et tangente, extraits du quiz de révision.
Le taux de variation de f(x) = x² entre x = 1 et x = 4 est :
Réponse : 5
τ = (f(4) - f(1))/(4 - 1) = (16 - 1)/3 = 15/3 = 5.
Le nombre dérivé de f(x) = x² en a = 3 est :
Réponse : 6
f'(x) = 2x, donc f'(3) = 2 × 3 = 6.
L'équation de la tangente à f(x) = x² au point d'abscisse 2 est :
Réponse : y = 4x - 4
f(2) = 4 et f'(2) = 4. Tangente : y = 4(x - 2) + 4 = 4x - 8 + 4 = 4x - 4.
Si f'(a) = 0, la tangente en a est :
Réponse : Horizontale
Si f'(a) = 0, la tangente a une pente nulle : elle est horizontale, d'équation y = f(a).