Fonction exponentielle

La fonction exponentielle, notée exp(x) = eˣ, est l'unique fonction f définie sur R telle que f' = f et f(0) = 1. La constante e ≈ 2,71828 est un nombre irrationnel fondamental en mathématiques. Propriétés algébriques : eᵃ⁺ᵇ = eᵃ × eᵇ, eᵃ⁻ᵇ = eᵃ/eᵇ, (eᵃ)ⁿ = eⁿᵃ, e⁰ = 1. Exemple : e²×e³ = e⁵ ; e⁷/e³ = e⁴ ; (e²)³ = e⁶. La dérivée de eˣ est eˣ, et plus généralement (e^u)' = u'×eˣ. Exemple : f(x) = e^(2x) → f'(x) = 2e^(2x) ; f(x) = e^(x²) → f'(x) = 2x×e^(x²). La fonction est strictement croissante sur R, toujours strictement positive (eˣ > 0 pour tout x), et ne s'annule jamais. Limites : lim(x→+∞) eˣ = +∞ et lim(x→−∞) eˣ = 0 (l'axe des x est une asymptote horizontale). Pour résoudre une équation du type eˣ = k (k > 0), on utilise le logarithme naturel : x = ln(k). Pour résoudre eᵃ = eᵇ, on utilise l'injectivité : eᵃ = eᵇ ⟺ a = b. Exemple d'application : une population de bactéries P(t) = 1000 × e^(0,3t). En t = 5 : P(5) = 1000 × e^(1,5) ≈ 1000 × 4,48 ≈ 4 481 bactéries.