Maths (Spé) — Algèbre
Second degré
Trinôme, discriminant, factorisation
Résumé synthétiqueFiche en 4 sectionsQuiz de 10 questionsGratuit, sans pub
Résumé
Le **trinôme du second degré** $f(x) = ax^2 + bx + c$ (avec $a \neq 0$) est l'objet central de l'algèbre de Première. Sa courbe est une **parabole** : tournée vers le haut (en $\cup$) si $a > 0$, vers le bas (en $\cap$) si $a < 0$, avec un **sommet** qui est son point extrême. Tout repose sur un seul nombre, le **discriminant** $\Delta = b^2 - 4ac$, qui décide du nombre de solutions de l'équation $ax^2 + bx + c = 0$ : **deux** racines si $\Delta > 0$, **une** racine double si $\Delta = 0$, **aucune** si $\Delta < 0$. À partir de là, on sait tout faire : calculer les racines avec $x = \dfrac{-b \pm \sqrt{\Delta}}{2a}$, **factoriser** $f(x) = a(x - x_1)(x - x_2)$, dresser le **tableau de signes** (le trinôme est du signe de $a$ à l'extérieur des racines, du signe opposé entre elles) et résoudre n'importe quelle **inéquation** du second degré. C'est l'outil clé pour l'optimisation et l'étude de fonctions.
Un **trinôme du second degré** s'écrit $f(x) = ax^2 + bx + c$ avec $a \neq 0$ (sinon le terme en $x^2$ disparaît et ce n'est plus du second degré). Sa courbe est une **parabole**, dont l'allure et le sens (creux vers le haut ou vers le bas) sont entièrement fixés par le signe de $a$.
- **Forme développée :** $f(x) = ax^2 + bx + c$, avec $a$, $b$, $c$ réels et $a \neq 0$.
- Si $a > 0$ : parabole en $\cup$ (**vers le haut**), le sommet est un **minimum**.
- Si $a < 0$ : parabole en $\cap$ (**vers le bas**), le sommet est un **maximum**.
- **Axe de symétrie et sommet :** abscisse $x_S = -\dfrac{b}{2a}$, puis $y_S = f(x_S)$.
- Le sommet sert à **optimiser** : il donne la plus grande (ou plus petite) valeur de $f$.
Exemple
Soit $f(x) = x^2 - 4x + 3$ ($a = 1 > 0$). Sommet : $x_S = -\dfrac{-4}{2 \times 1} = 2$, puis $y_S = f(2) = 4 - 8 + 3 = -1$. La parabole admet un **minimum** au point $(2\,;-1)$.
Piège à éviter
L'abscisse du sommet est $-\dfrac{b}{2a}$, avec le signe $-$ et le $2a$ au dénominateur. Oublier le signe ou diviser par $a$ au lieu de $2a$ déplace le sommet : recopie la formule avec soin.
Pour résoudre $ax^2 + bx + c = 0$, tout passe par un seul nombre : le **discriminant** $\Delta = b^2 - 4ac$. Son **signe** annonce à lui seul le nombre de solutions, avant même tout calcul de racine.
- **Discriminant :** $\Delta = b^2 - 4ac$.
- Si $\Delta > 0$ : **deux** racines distinctes $x_1 = \dfrac{-b - \sqrt{\Delta}}{2a}$ et $x_2 = \dfrac{-b + \sqrt{\Delta}}{2a}$.
- Si $\Delta = 0$ : une **racine double** $x_0 = -\dfrac{b}{2a}$, et $f(x) = a(x - x_0)^2$.
- Si $\Delta < 0$ : **aucune** racine réelle (le trinôme ne s'annule jamais).
- **Relations entre racines (Viète) :** $x_1 + x_2 = -\dfrac{b}{a}$ et $x_1 \times x_2 = \dfrac{c}{a}$ — idéales pour vérifier.
Exemple
Résolvons $x^2 - 5x + 6 = 0$. Ici $\Delta = (-5)^2 - 4 \times 1 \times 6 = 25 - 24 = 1 > 0$. Donc $x_1 = \dfrac{5 - 1}{2} = 2$ et $x_2 = \dfrac{5 + 1}{2} = 3$. Vérification de Viète : $2 + 3 = 5 = -\dfrac{-5}{1}$ et $2 \times 3 = 6 = \dfrac{6}{1}$.
Piège à éviter
Le discriminant est $\Delta = b^2 - 4ac$, avec un **moins** : ne l'écris jamais $b^2 + 4ac$. Et n'oublie pas le $2a$ au dénominateur des racines.
Une fois les racines connues, on peut **factoriser** le trinôme et lire son **signe**. La règle d'or tient en une phrase : un trinôme est du **signe de $a$ à l'extérieur** des racines, et du **signe opposé entre** les racines.
- **Factorisation (si $\Delta \geq 0$) :** $f(x) = a(x - x_1)(x - x_2)$.
- Si $\Delta < 0$ : $f(x)$ garde le **signe de $a$** pour tout $x$ (jamais nul).
- Si $\Delta = 0$ : $f(x)$ est du signe de $a$ partout, **sauf** en $x_0$ où il s'annule.
- Si $\Delta > 0$ (avec $x_1 < x_2$) : signe de $a$ pour $x < x_1$ **ou** $x > x_2$ ; signe **opposé** à $a$ pour $x_1 < x < x_2$.
- **Mémo :** « du signe de $a$ à l'extérieur, du signe contraire entre les racines ».
Exemple
Résolvons $x^2 - 5x + 6 < 0$. Racines $2$ et $3$, $a = 1 > 0$ : le trinôme est **négatif entre** les racines. La solution est l'intervalle $\left]2\,;3\right[$.
Piège à éviter
La factorisation $f(x) = a(x - x_1)(x - x_2)$ n'existe **que si $\Delta \geq 0$**. Si $\Delta < 0$, il n'y a pas de racine réelle : le trinôme ne se factorise pas dans $\mathbb{R}$.
Le second degré sert à **résoudre des inéquations** et à **optimiser** des grandeurs concrètes (aire maximale, coût minimal). La démarche est toujours la même : discriminant, racines, tableau de signes, puis lecture de la solution.
- **Méthode :** calculer $\Delta$, trouver les racines, placer le signe (du signe de $a$ à l'extérieur), lire l'intervalle demandé.
- Une inéquation $f(x) \geq 0$ se lit **directement** sur le tableau de signes du trinôme.
- **Optimisation :** la valeur extrême d'une grandeur du second degré est atteinte **au sommet** $x_S = -\dfrac{b}{2a}$.
- Toujours **vérifier** une racine en la réinjectant, ou via les relations de Viète.
Exemple
Un terrain rectangulaire a un périmètre de $40$ m, donc des côtés $x$ et $20 - x$. Son aire est $A(x) = x(20 - x) = -x^2 + 20x$ ($a = -1 < 0$ : maximum). Le sommet est en $x_S = -\dfrac{20}{2 \times (-1)} = 10$, d'où $A(10) = 10 \times 10 = 100$ m². Le carré de côté $10$ m maximise l'aire.
Piège à éviter
Pour résoudre $x^2 - x - 6 \geq 0$ (racines $-2$ et $3$, $a > 0$), la solution est **à l'extérieur** : $\left]-\infty\,;-2\right] \cup \left[3\,;+\infty\right[$, et non l'intérieur. Confondre intérieur et extérieur est l'erreur la plus fréquente.
Quiz - Second degré
10 questions
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Questions fréquentes
Les points clés à retenir sur Second degré, extraits du quiz de révision.
Le discriminant de $x^2 - 5x + 6$ est :
Réponse :
$1$
$\Delta = b^2 - 4ac = (-5)^2 - 4 \times 1 \times 6 = 25 - 24 = 1$. Attention : $b = -5$, donc $b^2 = 25$ (positif).
Si $\Delta < 0$, l'équation $ax^2 + bx + c = 0$ a :
Réponse :
$0$ solution réelle
$\Delta < 0$ impose une racine carrée de nombre négatif, impossible dans $\mathbb{R}$ : il n'y a **aucune** solution réelle, la parabole ne touche pas l'axe $Ox$.
Les solutions de $x^2 - 5x + 6 = 0$ sont :
Réponse :
$x = 2$ et $x = 3$
$\Delta = 1$, donc $x_1 = \dfrac{5 - 1}{2} = 2$ et $x_2 = \dfrac{5 + 1}{2} = 3$. Vérification : $2 + 3 = 5$ et $2 \times 3 = 6$.
Le sommet de la parabole $y = ax^2 + bx + c$ a pour abscisse :
Réponse :
$-\dfrac{b}{2a}$
L'abscisse du sommet (et axe de symétrie) est $x_S = -\dfrac{b}{2a}$. Le $2a$ au dénominateur est essentiel.