Équations différentielles

Une équation différentielle est une équation dont l'inconnue est une fonction et qui fait intervenir ses dérivées. L'équation y' = ay (a constante réelle) a pour solutions les fonctions y(t) = Ce^(at) où C est une constante déterminée par la condition initiale. Si a < 0, les solutions décroissent exponentiellement (décroissance radioactive, refroidissement) ; si a > 0, elles croissent exponentiellement (croissance d'une population). L'équation y' = ay + b a pour solution générale y(t) = Ce^(at) − b/a. La solution particulière constante est y = −b/a. Par exemple, le refroidissement de Newton donne T'(t) = −k(T − Tₑ), soit T' = −kT + kTₑ, avec solution T(t) = (T₀ − Tₑ)e^(−kt) + Tₑ : la température tend exponentiellement vers la température extérieure Tₑ.