Le modèle logistique est adapté quand :

La croissance est limitée par une capacité maximale

Un R² = 0,98 signifie que le modèle :

Explique 98 % de la variabilité des données

Sur un graphique semi-logarithmique, une croissance exponentielle apparaît comme :

Une droite. ln(y) = ln(y₀) + kt est linéaire en t, donc sur un graphique semi-log, la courbe est une droite.

Le modèle logistique est adapté quand :

La croissance est limitée par une capacité maximale. Le modèle logistique P(t) = K/(1+Ce^(−rt)) modélise une croissance d'abord rapide puis qui sature vers K.

Pour simuler un lancer de dé sur tableur, on utilise :

ENT(ALEA()*6)+1. ALEA() donne un nombre dans [0;1[, multiplié par 6 donne [0;6[, ENT tronque à l'entier, +1 donne {1,2,3,4,5,6}.

Un R² = 0,98 signifie que le modèle :

Explique 98 % de la variabilité des données. R² = 0,98 signifie que 98 % de la variance des données est expliquée par le modèle. C'est un très bon ajustement.

Le taux réciproque d'une hausse de 50 % est une baisse de :

33,3 %. CM hausse = 1,5. CM réciproque = 1/1,5 ≈ 0,667. Taux réciproque = 0,667 − 1 = −0,333 soit −33,3 %.

Un algorithme de seuil pour une suite géométrique uₙ = 100 × 0,9ⁿ cherche le premier n tel que uₙ < 10. La réponse est :

n = 22. 100 × 0,9ⁿ ln(0,1)/ln(0,9) ≈ 2,303/0,1054 ≈ 21,85. Donc n = 22.

Maths complémentaires — Modélisation

Automatismes et modélisation

Q: Le coefficient multiplicateur d'une hausse de 15 % est :

1,15. CM = 1 + 15/100 = 1,15. Multiplier par 1,15 revient à augmenter de 15 %.

Q: Après une hausse de 20 % puis une baisse de 20 %, le prix final est :

Inférieur au prix initial (96 %). CM = 1,20 × 0,80 = 0,96. Le prix final est 96 % du prix initial, soit une baisse globale de 4 %.

Q: Un modèle exponentiel se caractérise par :

Un taux de variation relatif constant. Dans un modèle exponentiel y = y₀e^(kt), le taux de variation relatif y'/y = k est constant.

Q: Le temps de doublement d'une population croissant de 5 % par an est environ :

14 ans. Taux continu k ≈ ln(1,05) ≈ 0,0488. t_d = ln2/k ≈ 0,693/0,0488 ≈ 14,2 ans. (Règle de 70 : 70/5 = 14.)

Q: Un algorithme de seuil pour une suite géométrique uₙ = 100 × 0,9ⁿ cherche le premier n tel que uₙ < 10. La réponse est :

n = 22. 100 × 0,9ⁿ ln(0,1)/ln(0,9) ≈ 2,303/0,1054 ≈ 21,85. Donc n = 22.

Applications des mathématiques en sciences, économie et vie courante : modèles, proportionnalité, pourcentages, tableur

Résumé synthétiqueFiche en 5 sectionsQuiz de 10 questionsGratuit, sans pub

Résumé

Ce chapitre rassemble les automatismes de calcul et les compétences de modélisation transversales. Les pourcentages d'évolution sont fondamentaux : un coefficient multiplicateur de 1,05 correspond à une hausse de 5 %, et une baisse de 20 % suivie d'une hausse de 25 % ne redonne pas la valeur initiale (CM = 0,8 × 1,25 = 1, en fait si dans ce cas). Le taux d'évolution global de plusieurs évolutions successives se calcule par le produit des coefficients multiplicateurs. En modélisation, on choisit le modèle adapté : linéaire (proportionnalité, y = ax + b), exponentiel (y = y₀·e^(kt), taux de croissance constant), logistique (croissance limitée). Le tableur est un outil essentiel : on y calcule des suites, simule des expériences aléatoires, ajuste des courbes. Par exemple, pour modéliser la propagation d'une épidémie, on peut utiliser un modèle logistique P(t) = K/(1 + Ce^(−rt)) où K est la capacité maximale.

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Questions fréquentes

Les points clés à retenir sur Automatismes et modélisation, extraits du quiz de révision.

Le coefficient multiplicateur d'une hausse de 15 % est :

Réponse : 1,15

CM = 1 + 15/100 = 1,15. Multiplier par 1,15 revient à augmenter de 15 %.

Après une hausse de 20 % puis une baisse de 20 %, le prix final est :

Réponse : Inférieur au prix initial (96 %)

CM = 1,20 × 0,80 = 0,96. Le prix final est 96 % du prix initial, soit une baisse globale de 4 %.

Un modèle exponentiel se caractérise par :

Réponse : Un taux de variation relatif constant

Dans un modèle exponentiel y = y₀e^(kt), le taux de variation relatif y'/y = k est constant.

Le temps de doublement d'une population croissant de 5 % par an est environ :

Réponse : 14 ans

Taux continu k ≈ ln(1,05) ≈ 0,0488. t_d = ln2/k ≈ 0,693/0,0488 ≈ 14,2 ans. (Règle de 70 : 70/5 = 14.)

Résumé

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Les points clés à retenir sur Automatismes et modélisation, extraits du quiz de révision.

Le coefficient multiplicateur d'une hausse de 15 % est :

Réponse : 1,15

CM = 1 + 15/100 = 1,15. Multiplier par 1,15 revient à augmenter de 15 %.

Après une hausse de 20 % puis une baisse de 20 %, le prix final est :

Réponse : Inférieur au prix initial (96 %)

CM = 1,20 × 0,80 = 0,96. Le prix final est 96 % du prix initial, soit une baisse globale de 4 %.

Un modèle exponentiel se caractérise par :

Réponse : Un taux de variation relatif constant

Dans un modèle exponentiel y = y₀e^(kt), le taux de variation relatif y'/y = k est constant.

Le temps de doublement d'une population croissant de 5 % par an est environ :

Réponse : 14 ans

Taux continu k ≈ ln(1,05) ≈ 0,0488. t_d = ln2/k ≈ 0,693/0,0488 ≈ 14,2 ans. (Règle de 70 : 70/5 = 14.)

Automatismes et modélisation

Résumé

Pourcentages et évolutions

Modèle linéaire

Modèle exponentiel

Autres modèles et ajustement

Utilisation du tableur et algorithmique

Quiz - Automatismes et modélisation

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