Maths complémentaires — Probabilités et statistiques
Probabilités et statistiques
Loi binomiale, loi normale, intervalles de confiance, estimation
Résumé synthétiqueFiche en 4 sectionsQuiz de 10 questionsGratuit, sans pub
Résumé
Ce chapitre outille le hasard et les données. La **loi binomiale** $\mathcal{B}(n\,;p)$ compte le nombre de **succès** dans $n$ épreuves identiques et indépendantes : $P(X = k) = \dbinom{n}{k}\,p^{\,k}(1 - p)^{\,n-k}$, avec espérance $E(X) = np$ et écart-type $\sigma = \sqrt{np(1 - p)}$. La **loi normale** $\mathcal{N}(\mu\,;\sigma^2)$ est la loi continue « en cloche » qui approche la binomiale pour $n$ grand ; la loi centrée réduite $\mathcal{N}(0\,;1)$ vérifie $P(-1{,}96 \leq Z \leq 1{,}96) \approx 0{,}95$. Enfin, l'**intervalle de confiance** estime une proportion inconnue $p$ à partir d'une fréquence observée $f$ : $\left[\,f - 1{,}96\sqrt{\tfrac{f(1 - f)}{n}}\;;\;f + 1{,}96\sqrt{\tfrac{f(1 - f)}{n}}\,\right]$. Exemple : pour $20$ lancers d'une pièce équilibrée, $X \sim \mathcal{B}(20\,;0{,}5)$ et $E(X) = 10$.
La loi binomiale modélise la **répétition** d'une même expérience à deux issues (succès / échec). Dès qu'on répète $n$ fois, de façon **indépendante**, une épreuve de probabilité de succès $p$, le nombre de succès suit une loi $\mathcal{B}(n\,;p)$.
- **Cadre :** $n$ épreuves de Bernoulli **indépendantes**, même probabilité de succès $p$.
- **Loi :** $P(X = k) = \dbinom{n}{k}\,p^{\,k}\,(1 - p)^{\,n-k}$ pour $k = 0, 1, \dots, n$.
- **Coefficient binomial :** $\dbinom{n}{k}$ compte les façons de placer $k$ succès parmi $n$ épreuves.
- **Espérance :** $E(X) = np$. **Variance :** $V(X) = np(1 - p)$. **Écart-type :** $\sigma = \sqrt{np(1 - p)}$.
- **Calculatrice :** binomFdp$(n, p, k)$ pour $P(X = k)$, binomFRép$(n, p, k)$ pour $P(X \leq k)$.
Exemple
On lance $10$ fois un dé, succès $=$ obtenir un $6$ ($p = \tfrac{1}{6}$). Alors $P(X = 2) = \dbinom{10}{2}\left(\tfrac{1}{6}\right)^2\left(\tfrac{5}{6}\right)^8 \approx 0{,}29$.
Piège à éviter
La loi binomiale exige des épreuves **indépendantes** et de **même** probabilité $p$. Un tirage **sans remise** change $p$ à chaque étape : ce n'est plus une loi binomiale.
La **loi normale** décrit les grandeurs continues qui se regroupent autour d'une moyenne : tailles, erreurs de mesure, moyennes d'échantillons. Sa courbe en cloche est symétrique par rapport à l'espérance $\mu$, et sa largeur est réglée par l'écart-type $\sigma$.
- $\mathcal{N}(\mu\,;\sigma^2)$ a une courbe **en cloche** symétrique par rapport à $\mu$ (l'espérance).
- **Centrer-réduire :** si $X \sim \mathcal{N}(\mu\,;\sigma^2)$, alors $Z = \dfrac{X - \mu}{\sigma} \sim \mathcal{N}(0\,;1)$.
- **Loi centrée réduite :** $P(-1{,}96 \leq Z \leq 1{,}96) \approx 0{,}95$.
- **Règle $68$–$95$–$99{,}7$ :** $\approx 68\,\%$ dans $[\mu - \sigma\,;\mu + \sigma]$, $\approx 95\,\%$ dans $[\mu - 2\sigma\,;\mu + 2\sigma]$.
- **Approximation :** pour $n$ grand avec $np \geq 5$ et $n(1 - p) \geq 5$, $\mathcal{B}(n\,;p) \approx \mathcal{N}\big(np\,;\,np(1 - p)\big)$.
Exemple
Si $X \sim \mathcal{N}(100\,;\,5^2)$, alors $P(90 \leq X \leq 110) = P(-2 \leq Z \leq 2) \approx 0{,}95$ : environ $95\,\%$ des valeurs sont à moins de $2\sigma = 10$ de la moyenne.
Piège à éviter
Attention à la notation : $\mathcal{N}(\mu\,;\sigma^2)$ utilise la **variance** $\sigma^2$, pas l'écart-type. Pour $\mathcal{N}(100\,;25)$, l'écart-type est $\sigma = \sqrt{25} = 5$.
Quand on sonde un échantillon, la **fréquence observée** $f$ varie d'un échantillon à l'autre autour de la vraie proportion $p$ : c'est la **fluctuation d'échantillonnage**. Plus l'échantillon est grand, plus $f$ se rapproche de $p$.
- Un échantillon de taille $n$ fournit une **fréquence** $f = \dfrac{\text{nombre de succès}}{n}$.
- $f$ est une variable aléatoire d'espérance $p$ et d'écart-type $\sqrt{\dfrac{p(1 - p)}{n}}$.
- Pour $n$ grand, $f$ suit approximativement $\mathcal{N}\!\left(p\,;\dfrac{p(1 - p)}{n}\right)$.
- **Loi des grands nombres :** plus $n$ augmente, plus $f$ se rapproche de la probabilité $p$.
Exemple
Pour une pièce équilibrée ($p = 0{,}5$) et $n = 100$ lancers, $f$ a pour écart-type $\sqrt{\dfrac{0{,}5 \times 0{,}5}{100}} = 0{,}05$ : la fréquence de Pile fluctue autour de $0{,}5$ à environ $\pm 0{,}1$ près.
Piège à éviter
L'écart-type de la fréquence décroît en $\dfrac{1}{\sqrt{n}}$, pas en $\dfrac{1}{n}$ : pour **diviser par $2$** l'incertitude, il faut **multiplier par $4$** la taille de l'échantillon.
L'**intervalle de confiance** renverse la question : à partir d'une fréquence $f$ observée sur un échantillon, on encadre la proportion **inconnue** $p$ de toute la population, avec un niveau de confiance de $95\,\%$.
- **IC à $95\,\%$ :** $\left[\,f - 1{,}96\sqrt{\dfrac{f(1 - f)}{n}}\;;\;f + 1{,}96\sqrt{\dfrac{f(1 - f)}{n}}\,\right]$.
- **Interprétation :** en répétant l'expérience, environ $95\,\%$ des intervalles ainsi construits contiennent la vraie valeur $p$.
- **Marge d'erreur :** $e = 1{,}96\sqrt{\dfrac{f(1 - f)}{n}}$ ; elle **diminue** quand $n$ augmente.
- **Taille nécessaire :** pour une marge $e$, $n \geq \dfrac{(1{,}96)^2}{4\,e^2}$ (majorant avec $f(1 - f) \leq \tfrac{1}{4}$).
Exemple
Sur $400$ personnes, $220$ sont favorables : $f = 0{,}55$. Marge $e = 1{,}96\sqrt{\dfrac{0{,}55 \times 0{,}45}{400}} \approx 0{,}049$. IC $\approx [0{,}501\,;0{,}599]$.
Piège à éviter
Un IC à $95\,\%$ ne signifie pas que « $p$ a $95\,\%$ de chances d'être dans cet intervalle » : $p$ est **fixe**. C'est la **méthode** qui réussit dans $95\,\%$ des échantillons.
Quiz - Probabilités et statistiques
10 questions
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Questions fréquentes
Les points clés à retenir sur Probabilités et statistiques, extraits du quiz de révision.
$X \sim \mathcal{B}(10\,;0{,}3)$. Que vaut $E(X)$ ?
Réponse :
$3$
L'espérance d'une loi binomiale $\mathcal{B}(n\,;p)$ est $E(X) = np = 10 \times 0{,}3 = 3$.
$P(X = k)$ pour $X \sim \mathcal{B}(n\,;p)$ vaut :
Réponse :
$\dbinom{n}{k}\,p^{\,k}\,(1 - p)^{\,n-k}$
La loi binomiale donne $P(X = k) = \dbinom{n}{k}\,p^{\,k}\,(1 - p)^{\,n-k}$.
Pour $\mathcal{N}(0\,;1)$, $P(-1{,}96 \leq Z \leq 1{,}96) \approx $ ?
Réponse :
$0{,}95$
Résultat classique : environ $95\,\%$ des valeurs d'une loi normale centrée réduite sont dans $[-1{,}96\,;1{,}96]$.
L'écart-type de $X \sim \mathcal{B}(20\,;0{,}5)$ est :
Réponse :
$\sqrt{5} \approx 2{,}24$
$\sigma = \sqrt{np(1 - p)} = \sqrt{20 \times 0{,}5 \times 0{,}5} = \sqrt{5} \approx 2{,}24$.