Mathématiques — Statistiques et probabilités
Échantillonnage
Fluctuation d'échantillonnage, intervalle de fluctuation, simulation
Résumé synthétiqueFiche en 5 sectionsQuiz de 10 questionsGratuit, sans pub
Résumé
Pour connaître l'opinion de millions de personnes, on n'interroge qu'un **échantillon** : un petit groupe censé refléter l'ensemble. Mais d'un échantillon à l'autre, la **fréquence** observée varie — lancer $100$ fois une pièce équilibrée ne donne pas toujours $50$ « pile ». C'est la **fluctuation d'échantillonnage**. Pour la maîtriser, on encadre la fréquence attendue par un **intervalle de fluctuation** au seuil de $95\,\%$ : $\left[p - \dfrac{1}{\sqrt{n}}\,;p + \dfrac{1}{\sqrt{n}}\right]$. Si la fréquence observée en sort, on peut **remettre en cause** l'hypothèse de départ — par exemple soupçonner une pièce truquée. La **simulation** sur ordinateur permet de visualiser tout cela en répétant l'expérience des milliers de fois.
Impossible d'interroger les $50$ millions d'électeurs : on étudie un **échantillon**, un petit groupe censé **représenter** l'ensemble appelé **population**. Toute la fiabilité d'un sondage repose là-dessus : plus l'échantillon est grand et bien choisi, plus ses résultats sont proches de la réalité.
- **Population :** l'ensemble complet étudié (ex : tous les lycéens de France).
- **Échantillon :** un sous-groupe prélevé pour l'étude (ex : $500$ lycéens).
- Un échantillon doit être **représentatif** : refléter les caractéristiques de la population.
- **Taille $n$ :** le nombre d'individus (ou d'expériences) de l'échantillon.
- Plus $n$ est grand, plus les résultats sont **fiables** (loi des grands nombres).
Exemple
Un institut interroge $1\,000$ personnes pour estimer l'opinion de $50$ millions de Français. L'échantillon ($n = 1\,000$) doit reproduire la diversité de la population (âges, régions…) pour être fiable.
Piège à éviter
Un grand échantillon **mal choisi** reste trompeur : interroger seulement des étudiants pour estimer toute la population introduit un **biais**, que la taille ne corrige pas.
Répète la même expérience aléatoire, et la **fréquence** observée changera à chaque fois : c'est la **fluctuation d'échantillonnage**. Ce n'est pas une erreur, mais un effet naturel du hasard. Bonne nouvelle : plus l'échantillon grandit, plus la fréquence se **stabilise** autour de la probabilité théorique.
- La **fréquence observée** varie d'un échantillon à l'autre, à conditions identiques.
- Exemple : sur $50$ lancers de dé, la fréquence d'un $6$ n'est pas exactement $\dfrac{1}{6} \approx 0{,}167$.
- On peut obtenir $\dfrac{7}{50} = 0{,}14$ ou $\dfrac{10}{50} = 0{,}20$ : c'est la fluctuation, c'est normal.
- Plus $n$ est grand, plus la fréquence se **rapproche** de la probabilité.
- **Loi des grands nombres :** la fréquence converge vers la probabilité quand $n$ devient très grand.
Exemple
Avec $10$ lancers de dé, on peut très bien obtenir $0$ fois un $6$ (fréquence $0$). Avec $10\,000$ lancers, la fréquence sera presque collée à $\dfrac{1}{6} \approx 0{,}167$.
Piège à éviter
La fluctuation n'est **pas** une faute de manipulation : deux séries identiques de lancers donnent presque toujours des fréquences différentes, et c'est attendu.
Si la fréquence fluctue, dans quelle **plage** va-t-elle tomber le plus souvent ? L'**intervalle de fluctuation** au seuil de $95\,\%$ répond à cela : centré sur la probabilité $p$, sa largeur dépend de la taille $n$. Plus l'échantillon est grand, plus l'intervalle est **étroit**, donc plus la prévision est précise.
![Axe des fréquences de 0 à 1 avec l'intervalle de fluctuation [0,4 ; 0,6] centré sur p = 0,5, et une fréquence observée 0,62 située hors de l'intervalle](/fiches/sec-maths-15-fluctuation.svg)
- **Formule (Seconde) :** $I = \left[p - \dfrac{1}{\sqrt{n}}\,;p + \dfrac{1}{\sqrt{n}}\right]$.
- $p$ est la probabilité théorique, $n$ la taille de l'échantillon.
- **Sens :** dans environ $95\,\%$ des échantillons de taille $n$, la fréquence tombe dans $I$.
- **Conditions :** $n \geq 25$ et $0{,}2 \leq p \leq 0{,}8$.
- Plus $n$ est grand, plus l'intervalle est **étroit** : $\dfrac{1}{\sqrt{100}} = 0{,}1$ mais $\dfrac{1}{\sqrt{10000}} = 0{,}01$.
Exemple
Pièce équilibrée ($p = 0{,}5$), $n = 100$ : $I = \left[0{,}5 - \dfrac{1}{\sqrt{100}}\,;0{,}5 + \dfrac{1}{\sqrt{100}}\right] = [0{,}5 - 0{,}1\,;0{,}5 + 0{,}1] = [0{,}4\,;0{,}6]$. On s'attend à $40$ à $60$ « pile » sur $100$ lancers dans $95\,\%$ des cas.
Piège à éviter
L'intervalle s'écrit avec la **probabilité $p$**, pas avec la fréquence observée. On le calcule **avant** de comparer la fréquence : sinon, le raisonnement de décision n'a plus de sens.
L'intervalle de fluctuation sert à **trancher** : la fréquence observée est-elle compatible avec l'hypothèse de départ ? Si elle tombe dans l'intervalle, rien d'anormal ; si elle en sort, c'est suspect et on rejette l'hypothèse — en acceptant un petit **risque** de se tromper.
- **Étape 1 :** formuler une hypothèse sur $p$ (ex : pièce équilibrée, $p = 0{,}5$).
- **Étape 2 :** calculer l'intervalle de fluctuation $I$.
- **Étape 3 :** observer la fréquence $f$ dans l'échantillon.
- Si $f \in I$ : compatible avec l'hypothèse, on **ne rejette pas**.
- Si $f \notin I$ : on **rejette** l'hypothèse (au risque de $5\,\%$).
Exemple
On suppose $p = 0{,}5$ et $n = 100$, donc $I = [0{,}4\,;0{,}6]$. On observe $62$ « pile » : $f = \dfrac{62}{100} = 0{,}62 \notin [0{,}4\,;0{,}6]$. On rejette : la pièce semble truquée.
Piège à éviter
« Ne pas rejeter » n'est **pas** « prouver ». Une fréquence dans l'intervalle rend l'hypothèse **compatible**, sans la démontrer. Et le risque de $5\,\%$ : on peut rejeter à tort une hypothèse pourtant correcte $5$ fois sur $100$.
Pour **voir** la fluctuation à l'œuvre, rien de tel que la **simulation** : on demande à l'ordinateur de rejouer l'expérience des milliers de fois. On observe alors directement que les fréquences se dispersent, et qu'environ $95\,\%$ d'entre elles tombent dans l'intervalle de fluctuation.
- En **Python**, on importe le module : **import random**.
- **random.random()** donne un décimal aléatoire dans $[0\,;1[$ ; **random.randint(1, 6)** un entier de $1$ à $6$.
- Simuler $n$ lancers de pièce : compter combien de **random.random()** sont $< 0{,}5$.
- Au **tableur**, les fonctions **ALEA()** et **ALEA.ENTRE.BORNES()** jouent le même rôle.
- En répétant la simulation, on **vérifie** qu'environ $95\,\%$ des fréquences tombent dans $I$.
Exemple
Pour simuler un dé : **random.randint(1, 6)** renvoie un entier de $1$ à $6$, chacun avec probabilité $\dfrac{1}{6}$. En répétant $10\,000$ fois et en comptant les $6$, la fréquence obtenue est très proche de $0{,}167$.
Piège à éviter
**random.randint(1, 6)** inclut bien les **deux** bornes $1$ et $6$. À ne pas confondre avec **random.random()**, qui renvoie un **décimal** de $[0\,;1[$ et n'atteint jamais $1$.
Quiz - Échantillonnage
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Notions clés — Mathématiques
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Questions fréquentes
Les points clés à retenir sur Échantillonnage, extraits du quiz de révision.
La fluctuation d'échantillonnage, c'est :
Réponse :
La variation de la fréquence d'un échantillon à l'autre
C'est le phénomène naturel par lequel la fréquence observée **varie** d'un échantillon à l'autre, à conditions identiques. Ce n'est pas une erreur, mais une conséquence du hasard.
L'intervalle de fluctuation au seuil de $95\,\%$ pour $p = 0{,}5$ et $n = 100$ est :
Réponse :
$[0{,}4\,;0{,}6]$
$I = \left[p - \dfrac{1}{\sqrt{n}}\,;p + \dfrac{1}{\sqrt{n}}\right] = \left[0{,}5 - \dfrac{1}{\sqrt{100}}\,;0{,}5 + \dfrac{1}{\sqrt{100}}\right] = [0{,}5 - 0{,}1\,;0{,}5 + 0{,}1] = [0{,}4\,;0{,}6]$.
Quand la taille $n$ de l'échantillon augmente, l'intervalle de fluctuation :
Réponse :
Se rétrécit
La largeur vaut $\dfrac{2}{\sqrt{n}}$. Quand $n$ augmente, $\sqrt{n}$ augmente, donc $\dfrac{1}{\sqrt{n}}$ diminue et l'intervalle **se rétrécit**. Pour $n = 100$ la largeur est $0{,}2$ ; pour $n = 10000$, seulement $0{,}02$.
Quelles conditions faut-il pour utiliser la formule $\left[p - \dfrac{1}{\sqrt{n}}\,;p + \dfrac{1}{\sqrt{n}}\right]$ ?
Réponse :
$n \geq 25$ et $0{,}2 \leq p \leq 0{,}8$
La formule simplifiée de Seconde exige $n \geq 25$ (échantillon assez grand) et $0{,}2 \leq p \leq 0{,}8$ (probabilité ni trop proche de $0$ ni de $1$). Hors de ces conditions, l'approximation devient trop imprécise.