Maths (Spé) — Probabilités et statistiques
Probabilités conditionnelles et indépendance
Probabilité conditionnelle, formule des probabilités totales, arbres pondérés et indépendance
Résumé synthétiqueFiche en 5 sectionsQuiz de 11 questionsGratuit, sans pub
Résumé
La probabilité conditionnelle P_A(B), aussi notée P(B|A), est la probabilité que l'événement B se réalise sachant que A est réalisé. Elle se calcule par P_A(B) = P(A ∩ B) / P(A), avec P(A) ≠ 0. Par exemple, dans une classe de 30 élèves dont 18 filles et 12 garçons, si 10 filles font du sport, la probabilité qu'un élève fasse du sport sachant que c'est une fille est P_F(S) = 10/18. La formule des probabilités totales permet de calculer P(B) quand on connaît les probabilités conditionnelles : si A et son complémentaire forment une partition, P(B) = P(A) × P_A(B) + P(A̅) × P_{A̅}(B). Un arbre pondéré représente visuellement ces calculs. Deux événements A et B sont indépendants si P(A ∩ B) = P(A) × P(B), ce qui équivaut à P_A(B) = P(B).
La probabilité conditionnelle répond à la question : « si je sais que A s'est produit, quelle est la probabilité que B se produise aussi ? ». C'est un concept fondamental en probabilités, omniprésent dans les sujets du Bac.
- P_A(B) = P(A ∩ B) / P(A) : probabilité de B sachant que A est réalisé (P(A) ≠ 0)
- Autre notation courante : P(B|A) = P(A ∩ B) / P(A)
- Conséquence : P(A ∩ B) = P(A) × P_A(B) (formule de multiplication)
- Symétrie : P(A ∩ B) = P(A) × P_A(B) = P(B) × P_B(A)
- Exemple : un sac contient 3 boules rouges et 2 bleues. On tire deux boules sans remise. P(2e rouge | 1re rouge) = 2/4 = 1/2
- Attention : P_A(B) ≠ P_B(A) en général ! L'ordre du conditionnement change le résultat
- Les propriétés classiques restent valables : P_A(B̅) = 1 - P_A(B) ; P_A(B ∪ C) = P_A(B) + P_A(C) - P_A(B ∩ C)
Exemple
Un sac contient 4 boules rouges et 6 bleues. On tire 2 boules sans remise. P(2e rouge | 1re rouge) = 3/9 = 1/3 (il reste 3 rouges sur 9 boules). P(1re rouge ∩ 2e rouge) = P(1re rouge) × P(2e rouge | 1re rouge) = 4/10 × 3/9 = 12/90 = 2/15.
Piège à éviter
P_A(B) et P_B(A) sont DIFFERENTES en général ! P(malade | test positif) ≠ P(test positif | malade). Cette confusion est si fréquente qu'elle porte un nom : le « renversement du conditionnel ». Au Bac, lisez bien quel événement est en condition.
L'arbre pondéré est l'outil visuel indispensable pour résoudre les problèmes de probabilités conditionnelles. Il organise les calculs et évite les erreurs de raisonnement.
- Un arbre pondéré représente les différentes étapes d'une expérience aléatoire
- Règle du produit : la probabilité d'un chemin est le produit des probabilités sur les branches
- Règle de la somme : P(un événement) = somme des probabilités des chemins menant à cet événement
- Les branches issues d'un même noeud ont des probabilités dont la somme vaut 1
- Première ramification : P(A) et P(A̅). Deuxième : P_A(B), P_A(B̅), P_{A̅}(B), P_{A̅}(B̅)
- Exemple : test médical. P(malade) = 0.01. P(test + | malade) = 0.95. P(test + | non malade) = 0.03. P(test +) = 0.01×0.95 + 0.99×0.03 = 0.0392
Exemple
Usine avec 2 machines : machine A (60 % de la production, 5 % de défauts) et machine B (40 %, 3 % de défauts). On prend une pièce au hasard. Arbre : P(A) = 0.6, P(D|A) = 0.05, P(B) = 0.4, P(D|B) = 0.03. P(A ∩ D) = 0.6 × 0.05 = 0.03. P(B ∩ D) = 0.4 × 0.03 = 0.012.
Piège à éviter
Dans un arbre, la somme des branches issues d'un MEME noeud doit toujours faire 1. Si P(A) = 0.6, alors P(A̅) = 0.4 obligatoirement. Vérifiez systématiquement cette règle pour détecter les erreurs de calcul.
La formule des probabilités totales permet de calculer la probabilité d'un événement en passant par une partition. C'est la clé pour « rassembler les chemins » d'un arbre pondéré.
- Si A₁, A₂, ..., Aₙ forment une partition de l'univers (disjoints et recouvrants), alors P(B) = Σ P(Aᵢ) × P_{Aᵢ}(B)
- Cas le plus courant (partition en 2) : P(B) = P(A) × P_A(B) + P(A̅) × P_{A̅}(B)
- C'est la somme des probabilités des chemins aboutissant à B dans l'arbre
- Application fréquente : calculer P(B) quand on connaît les probabilités conditionnelles
- Exemple : 60 % des clients sont des femmes. 30 % des femmes achètent le produit, 20 % des hommes. P(achat) = 0.6×0.3 + 0.4×0.2 = 0.26
- Formule de Bayes (inverser l'arbre) : P_B(A) = P(A) × P_A(B) / P(B). Très utile pour les exercices de diagnostic
Exemple
Suite de l'usine : P(D) = P(A)×P(D|A) + P(B)×P(D|B) = 0.03 + 0.012 = 0.042 (4.2 % de défauts au total). Avec Bayes : P(A|D) = P(A ∩ D)/P(D) = 0.03/0.042 ≈ 0.714. Si une pièce est défectueuse, il y a 71.4 % de chances qu'elle vienne de A.
Piège à éviter
La formule des probabilités totales n'est PAS P(B) = P_A(B) + P_{A̅}(B). Il faut PONDERER par les probabilités des branches : P(B) = P(A) × P_A(B) + P(A̅) × P_{A̅}(B). L'oubli de la pondération est une erreur très courante.
Deux événements sont indépendants quand la réalisation de l'un n'influence pas la probabilité de l'autre. C'est un concept subtil, souvent confondu avec l'incompatibilité.
- A et B sont indépendants si P(A ∩ B) = P(A) × P(B)
- Cela équivaut à P_A(B) = P(B) : savoir que A est réalisé ne change pas la probabilité de B
- Si A et B sont indépendants, alors A et B̅, A̅ et B, A̅ et B̅ sont aussi indépendants
- Attention : indépendance ≠ incompatibilité ! Deux événements incompatibles (A ∩ B = ∅) de probabilités non nulles ne sont jamais indépendants
- Exemple : lancer deux dés. A = 'le premier dé donne 6', B = 'le second dé donne pair'. P(A ∩ B) = 1/6 × 1/2 = P(A) × P(B) → indépendants
- Pour vérifier l'indépendance : calculer P(A ∩ B) et comparer avec P(A) × P(B)
Exemple
On lance un dé. A = « obtenir un nombre pair » = {2,4,6}, P(A) = 1/2. B = « obtenir un multiple de 3 » = {3,6}, P(B) = 1/3. A ∩ B = {6}, P(A ∩ B) = 1/6. Or P(A) × P(B) = 1/2 × 1/3 = 1/6 = P(A ∩ B). Donc A et B sont indépendants.
Piège à éviter
Indépendance ≠ incompatibilité ! Incompatibles : A ∩ B = ∅ (ils ne peuvent PAS se produire ensemble). Indépendants : P(A ∩ B) = P(A) × P(B) (l'un n'influence pas l'autre). Deux événements incompatibles de probabilités non nulles ne sont JAMAIS indépendants.
Ce chapitre regorge de pièges classiques. Voici les erreurs les plus fréquentes et les réflexes à adopter pour les éviter au Bac.
- Ne pas confondre P_A(B) et P_B(A) : ce sont deux probabilités différentes en général
- Ne pas confondre indépendance et incompatibilité : incompatibles → P(A ∩ B) = 0, indépendants → P(A ∩ B) = P(A)×P(B)
- Toujours vérifier que P(A) > 0 avant de calculer P_A(B)
- Dans un arbre, la somme des branches issues d'un noeud doit toujours faire 1
- Pour les problèmes de diagnostic (test médical, etc.), bien utiliser Bayes pour 'inverser' le conditionnement
Exemple
Erreur type : « P(test + | malade) = 0.95, donc si le test est positif, j'ai 95 % de chances d'être malade ». FAUX ! C'est P(malade | test +) qu'il faut calculer avec Bayes. Si la maladie est rare (1 %), P(malade | test +) ≈ 24 % seulement, bien loin de 95 %.
Piège à éviter
Au Bac, avant tout calcul, dessinez TOUJOURS l'arbre pondéré. Il structure le raisonnement et évite les confusions entre P_A(B) et P_B(A). Placez les probabilités sur les branches, vérifiez que chaque noeud somme à 1, puis lisez les résultats.
Quiz - Probabilités conditionnelles et indépendance
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Notions clés — Maths (Spé)
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Questions fréquentes
Les points clés à retenir sur Probabilités conditionnelles et indépendance, extraits du quiz de révision.
P_A(B) se calcule par :
Réponse : P(A ∩ B) / P(A)
La probabilité de B sachant A est P_A(B) = P(A ∩ B) / P(A).
Si P(A) = 0.4 et P_A(B) = 0.3, alors P(A ∩ B) vaut :
Réponse : 0.12
P(A ∩ B) = P(A) × P_A(B) = 0.4 × 0.3 = 0.12.
Deux événements A et B sont indépendants si :
Réponse : P(A ∩ B) = P(A) × P(B)
L'indépendance se caractérise par P(A ∩ B) = P(A) × P(B).
Si A et B sont incompatibles avec P(A) > 0 et P(B) > 0, alors ils sont :
Réponse : Non indépendants
Si A ∩ B = ∅, P(A ∩ B) = 0 ≠ P(A)×P(B) > 0. Ils ne sont donc pas indépendants.