Fonctions : dérivation et continuité

Ce chapitre reprend les notions de dérivation vues en Première et les approfondit dans le cadre des maths complémentaires. La dérivée d'une fonction f en a est la limite du taux de variation [f(a+h)−f(a)]/h quand h tend vers 0 ; elle correspond au coefficient directeur de la tangente à la courbe au point d'abscisse a. On rappelle les formules de dérivation : (uⁿ)' = n·uⁿ⁻¹·u', (u/v)' = (u'v − uv')/v², ainsi que les dérivées des fonctions usuelles (√x, 1/x, xⁿ). La continuité d'une fonction sur un intervalle signifie qu'on peut tracer sa courbe sans lever le crayon. Le théorème des valeurs intermédiaires (TVI) affirme que si f est continue sur [a ; b] et que f(a) et f(b) sont de signes contraires, alors f s'annule au moins une fois sur ]a ; b[. Par exemple, la fonction f(x) = x³ − 2x − 5 vérifie f(2) = −1 < 0 et f(3) = 16 > 0, donc il existe c ∈ ]2 ; 3[ tel que f(c) = 0.