Mathématiques — Nombres et calculs
Équations et inéquations
Résolution, factorisation, signe d'un produit
Résumé synthétiqueFiche en 4 sectionsQuiz de 10 questionsGratuit, sans pub
Résumé
Résoudre une équation, c'est trouver **toutes** les valeurs de $x$ qui la rendent vraie. Pour le premier degré $ax + b = 0$, on isole $x$ pas à pas jusqu'à $x = -\dfrac{b}{a}$. Pour une équation produit, une règle en or fait tout le travail : $A \times B = 0$ exactement quand $A = 0$ **ou** $B = 0$. Les inéquations se traitent presque comme les équations, à un piège près : multiplier ou diviser par un nombre **négatif** inverse le sens de l'inégalité. Enfin, le **tableau de signes** permet d'étudier le signe d'un produit sans tout développer. Ces techniques reviennent dans tous les chapitres de l'année.
Une équation $ax + b = 0$ se résout en **isolant** $x$ : on regroupe les $x$ d'un côté, les nombres de l'autre, puis on divise. L'image utile est celle d'une **balance** : tout ce qu'on fait à un membre, on le fait à l'autre pour garder l'équilibre.
- **Forme :** $ax + b = 0$ avec $a \neq 0$, solution unique $x = -\dfrac{b}{a}$.
- **Méthode :** regrouper les $x$ d'un côté, les constantes de l'autre, puis diviser par le coefficient de $x$.
- **Vérifier** en remplaçant la valeur trouvée dans l'équation de départ.
- **Cas limites :** si $a = 0$ et $b = 0$, une infinité de solutions ; si $a = 0$ et $b \neq 0$, aucune solution.
- Avec des fractions : multiplier **tous** les termes par le dénominateur commun.
Exemple
$2x + 7 = 3 \Rightarrow 2x = 3 - 7 = -4 \Rightarrow x = \dfrac{-4}{2} = -2$. Vérification : $2 \times (-2) + 7 = 3$.
Piège à éviter
Quand un terme **change de côté** du signe $=$, son signe change aussi : $+7$ devient $-7$. Oublier ce changement de signe est l'erreur la plus courante.
Un produit de facteurs est nul **uniquement** si l'un des facteurs est nul. Cette idée toute simple — la **règle du produit nul** — transforme une équation compliquée en plusieurs petites équations faciles.
- **Règle d'or :** $A \times B = 0 \Leftrightarrow A = 0$ **ou** $B = 0$.
- Étape 1 : tout ramener d'un côté pour obtenir $\dots = 0$.
- Étape 2 : **factoriser** (facteur commun, identité remarquable).
- Étape 3 : annuler chaque facteur séparément.
- Ex. $x^2 - 9 = 0 \Rightarrow (x-3)(x+3) = 0 \Rightarrow x = 3$ ou $x = -3$.
Exemple
$x^2 - 5x = 0$ : on factorise par $x$, ce qui donne $x(x-5) = 0$. D'où $x = 0$ ou $x = 5$ : deux solutions.
Piège à éviter
Ne divise **jamais** les deux membres par $x$ pour « simplifier » : tu perdrais la solution $x = 0$. Il faut factoriser par $x$ à la place.
Une inéquation se manipule comme une équation, mais on garde le symbole $<$, $\leq$, $>$ ou $\geq$. **Une seule** opération réserve une surprise : diviser ou multiplier par un nombre **négatif** retourne le sens de l'inégalité.
- Ajouter, soustraire, ou diviser par un nombre **positif** ne change **pas** le sens.
- **Règle cruciale :** diviser (ou multiplier) par un nombre **négatif** inverse le sens ($<$ devient $>$).
- Ex. $-2x < 6 \Rightarrow x > -3$ (le sens s'inverse en divisant par $-2$).
- La solution s'écrit sous forme d'**intervalle** : ex. $x \geq 2$ donne $[2\,;+\infty[$.
- Pour une inéquation **produit**, on passe par un tableau de signes.
Exemple
$3x - 1 \geq 5 \Rightarrow 3x \geq 6 \Rightarrow x \geq 2$ (division par $3 > 0$, aucun changement de sens). Solution : $[2\,;+\infty[$.
Piège à éviter
Le piège classique : oublier d'inverser le sens en divisant par un négatif. $-2x < 6$ donne $x > -3$, et surtout pas $x < -3$ (teste $x = 0$ pour t'en convaincre).
Pour connaître le signe d'un **produit** $A(x) \times B(x)$, inutile de tout développer : on étudie chaque facteur séparément, puis on **multiplie les signes**. Le tableau de signes met tout cela au propre.
- Sert à résoudre $A(x) \times B(x) > 0$ (ou $< 0$) sans tout développer.
- Étape 1 : trouver les **valeurs qui annulent** chaque facteur (ses racines).
- Étape 2 : ranger ces valeurs dans l'**ordre croissant** sur une ligne.
- Étape 3 : donner le signe de chaque facteur sur chaque intervalle, puis **multiplier les signes**.
- Rappel des signes : $+ \times + = +$, $- \times - = +$, $+ \times - = -$.
Exemple
$(x-2)(x+3) > 0$ : les racines sont $-3$ et $2$. Le produit est positif quand les deux facteurs ont le **même signe** : solution $]-\infty\,;-3[ \cup ]2\,;+\infty[$.
Piège à éviter
Un produit est positif quand ses facteurs sont de **même signe** — y compris quand les deux sont négatifs. Ne conclus pas trop vite que « positif » signifie « entre les deux racines ».
Quiz - Équations et inéquations
10 questions
Notions clés — Mathématiques
Articles utiles
Questions fréquentes
Les points clés à retenir sur Équations et inéquations, extraits du quiz de révision.
Résoudre $3x - 6 = 0$ :
Réponse :
$x = 2$
$3x = 6$, donc $x = \dfrac{6}{3} = 2$. Vérification : $3 \times 2 - 6 = 0$.
Si $-2x > 4$, alors :
Réponse :
$x < -2$
On divise par $-2$ (négatif), donc le sens **s'inverse** : $x < -2$. Test : pour $x = -3$, $-2 \times (-3) = 6 > 4$.
Les solutions de $(x-1)(x+3) = 0$ sont :
Réponse :
$x = 1$ ou $x = -3$
Produit nul : $x - 1 = 0$ donne $x = 1$, ou $x + 3 = 0$ donne $x = -3$. Deux solutions distinctes (un seul $x$ à la fois).
La forme factorisée de $x^2 - 4$ est :
Réponse :
$(x-2)(x+2)$
On applique $a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$ avec $a = x$ et $b = 2$ : $x^2 - 4 = (x-2)(x+2)$.