Maths (Spé) — Algèbre
Polynômes du second degré
Discriminant, racines, signe, forme canonique, factorisation
Résumé synthétiqueFiche en 4 sectionsQuiz de 10 questionsGratuit, sans pub
Résumé
Un polynôme du second degré est une fonction de la forme f(x) = ax² + bx + c avec a ≠ 0. Sa courbe est une parabole ouverte vers le haut si a > 0, vers le bas si a < 0. La forme canonique f(x) = a(x - α)² + β révèle le sommet S(α ; β) de la parabole, avec α = -b/(2a) et β = f(α). Le discriminant Δ = b² - 4ac détermine le nombre de racines réelles : si Δ > 0, deux racines distinctes x₁ = (-b - √Δ)/(2a) et x₂ = (-b + √Δ)/(2a) ; si Δ = 0, une racine double x₀ = -b/(2a) ; si Δ < 0, aucune racine réelle. La factorisation dépend du signe de Δ : si Δ > 0, f(x) = a(x - x₁)(x - x₂) ; si Δ = 0, f(x) = a(x - x₀)². Le signe du trinôme se déduit du signe de a et des racines : si Δ > 0, le trinôme est du signe de a à l'extérieur des racines et du signe opposé entre les racines. Ces résultats sont fondamentaux pour résoudre les inéquations, optimiser des fonctions et modéliser des situations concrètes (trajectoires, aires, profits).
La forme canonique révèle le sommet de la parabole et ses propriétés essentielles. C'est la première étape de l'étude de tout polynôme du second degré, avant même le calcul du discriminant.
- Forme développée : f(x) = ax² + bx + c avec a ≠ 0
- Forme canonique : f(x) = a(x - α)² + β avec α = -b/(2a) et β = f(α) = -Δ/(4a)
- Le sommet de la parabole est S(α ; β) — c'est le minimum si a > 0, le maximum si a < 0
- Axe de symétrie : la droite verticale x = α = -b/(2a)
- Exemple : f(x) = 2x² - 8x + 5 → α = 8/4 = 2, β = f(2) = 8 - 16 + 5 = -3 → f(x) = 2(x-2)² - 3
- Si a > 0 : parabole ouverte vers le haut (sourire), minimum en β
- Si a < 0 : parabole ouverte vers le bas (triste), maximum en β
- Application : pour maximiser une aire ou un profit, chercher le sommet de la parabole
Exemple
Pour f(x) = 2x² - 8x + 5 : α = -(-8)/(2×2) = 8/4 = 2. β = f(2) = 2(4) - 8(2) + 5 = 8 - 16 + 5 = -3. Forme canonique : f(x) = 2(x - 2)² - 3. Le sommet est S(2 ; -3). Comme a = 2 > 0, c'est un minimum. L'axe de symétrie est x = 2.
Piège à éviter
α = -b/(2a), pas -b/2a sans parenthèses ! Si a = -3 et b = 6, alors α = -6/(2×(-3)) = -6/(-6) = 1, PAS α = -6/2 × (-3) = -9. Mettez TOUJOURS des parenthèses autour de 2a dans le dénominateur.
Le discriminant Δ = b² - 4ac est la clé de tout le chapitre. Son signe détermine le nombre de racines et donc la factorisation possible. C'est LA formule à connaître par coeur.
- Discriminant : Δ = b² - 4ac — c'est LA formule clé du chapitre
- Si Δ > 0 : deux racines distinctes x₁ = (-b - √Δ)/(2a) et x₂ = (-b + √Δ)/(2a)
- Si Δ = 0 : une racine double x₀ = -b/(2a) — la parabole est tangente à l'axe Ox
- Si Δ < 0 : aucune racine réelle — la parabole ne coupe pas l'axe Ox
- Exemple : x² - 5x + 6 = 0 → Δ = 25 - 24 = 1 > 0 → x₁ = (5-1)/2 = 2, x₂ = (5+1)/2 = 3
- Exemple : x² - 6x + 9 = 0 → Δ = 36 - 36 = 0 → x₀ = 3 (racine double)
- Exemple : x² + x + 1 = 0 → Δ = 1 - 4 = -3 < 0 → pas de solution réelle
- Somme des racines : x₁ + x₂ = -b/a ; Produit : x₁ × x₂ = c/a (relations de Viète)
Exemple
Résoudre 2x² - 7x + 3 = 0. Δ = (-7)² - 4(2)(3) = 49 - 24 = 25 > 0. √Δ = 5. x₁ = (7 - 5)/(2×2) = 2/4 = 1/2, x₂ = (7 + 5)/4 = 12/4 = 3. Vérification par Viète : x₁ + x₂ = 1/2 + 3 = 7/2 = -b/a ✓, x₁ × x₂ = 3/2 = c/a ✓.
Piège à éviter
Dans la formule des racines, le dénominateur est 2a, PAS 2. Si a = 3 et b = -6, Δ = 36, alors x = (6 ± 6)/(2×3) = (6 ± 6)/6. Pas (6 ± 6)/2 ! Beaucoup d'élèves oublient le a dans le dénominateur quand a ≠ 1.
La factorisation d'un trinôme découle directement du discriminant. C'est un outil essentiel pour résoudre des équations, étudier des signes ou simplifier des expressions.
- Si Δ > 0 : f(x) = a(x - x₁)(x - x₂) — factorisation complète
- Si Δ = 0 : f(x) = a(x - x₀)² — carré parfait
- Si Δ < 0 : pas de factorisation dans les réels
- Exemple : 2x² - 10x + 12 → Δ = 100 - 96 = 4, x₁ = 2, x₂ = 3 → 2(x-2)(x-3)
- Vérification : développer la forme factorisée pour retrouver la forme développée
- La factorisation sert à résoudre f(x) = 0, étudier le signe, simplifier des fractions rationnelles
- Facteur commun : toujours vérifier d'abord si on peut mettre a en facteur avant d'utiliser Δ
Exemple
Factoriser 3x² - 12x + 9. On factorise d'abord par 3 : 3(x² - 4x + 3). Pour x² - 4x + 3 : Δ = 16 - 12 = 4, x₁ = (4-2)/2 = 1, x₂ = (4+2)/2 = 3. Donc 3(x² - 4x + 3) = 3(x - 1)(x - 3). Vérification : 3(x-1)(x-3) = 3(x² - 4x + 3) = 3x² - 12x + 9 ✓.
Piège à éviter
N'oubliez pas le coefficient a devant la factorisation ! Si f(x) = 2x² - 10x + 12, la factorisation est 2(x-2)(x-3), PAS (x-2)(x-3). Le a = 2 doit apparaître devant. Vérifiez toujours en développant votre résultat.
Le signe du trinôme est la question la plus fréquente au Bac sur ce chapitre. La règle est simple : le trinôme est du signe de a sauf entre les racines (quand elles existent).
- Règle fondamentale : le trinôme est du signe de a SAUF entre les racines (si elles existent)
- Si Δ > 0 : signe de a sur ]-∞;x₁[ et ]x₂;+∞[, signe opposé sur ]x₁;x₂[
- Si Δ = 0 : toujours du signe de a (nul uniquement en x₀)
- Si Δ < 0 : toujours du signe de a (strictement, car jamais nul)
- Mnémotechnique : « le signe de a à l'extérieur, le signe contraire à l'intérieur »
- Application : résoudre ax² + bx + c ≥ 0 → trouver les racines puis utiliser le tableau de signes
- Exemple : x² - 4 > 0 → racines -2 et 2 (a=1>0) → solution : ]-∞;-2[ ∪ ]2;+∞[
- Erreur fréquente : ne pas oublier que x₁ < x₂ dans le tableau de signes
Exemple
Résoudre -x² + 3x - 2 ≥ 0. Racines : Δ = 9 - 8 = 1, x₁ = (3-1)/(-2) → attention, on utilise x₁ = (-3+1)/(2×(-1)) = 1, x₂ = 2. a = -1 < 0 donc le trinôme est négatif à l'extérieur des racines et positif entre elles. Solution : x ∈ [1 ; 2].
Piège à éviter
Pensez à bien ordonner les racines : x₁ < x₂. Si vous trouvez x₁ = 3 et x₂ = 1, inversez ! Le signe du trinôme dans le tableau est « signe de a, signe opposé, signe de a » avec les racines dans l'ordre croissant. Un tableau avec x₁ > x₂ est incohérent.
Quiz - Polynômes du second degré
10 questions
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Notions clés — Maths (Spé)
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Questions fréquentes
Les points clés à retenir sur Polynômes du second degré, extraits du quiz de révision.
Le discriminant de x² - 3x + 2 = 0 vaut :
Réponse : 1
Δ = (-3)² - 4(1)(2) = 9 - 8 = 1.
Les racines de x² - 5x + 6 = 0 sont :
Réponse : 2 et 3
Δ = 25 - 24 = 1. x₁ = (5-1)/2 = 2, x₂ = (5+1)/2 = 3.
Si Δ < 0 et a > 0, alors f(x) est :
Réponse : Toujours positif
Si Δ < 0, pas de racines. Le trinôme garde le signe de a, donc strictement positif pour tout x.
Le sommet de f(x) = -x² + 4x - 1 est :
Réponse : (2 ; 3)
α = -4/(2×(-1)) = 2. β = f(2) = -4 + 8 - 1 = 3. Sommet S(2 ; 3).