Physique-Chimie (Spé) — L'énergie : conversions et transferts
Circuit RC
Charge et décharge d'un condensateur, constante de temps τ, équation différentielle
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Résumé
Un circuit RC est constitué d'une résistance R et d'un condensateur de capacité C en série. Le condensateur stocke de l'énergie sous forme électrique : E = ½CU². Lors de la charge, la tension aux bornes du condensateur croît exponentiellement vers E (f.é.m. du générateur) : u_C(t) = E(1 − e^(−t/τ)). Lors de la décharge, elle décroît : u_C(t) = E×e^(−t/τ). La constante de temps τ = RC (en secondes) caractérise la rapidité du processus. Après 5τ, le régime permanent est atteint (charge à 99%). L'équation différentielle du circuit en charge est τ×du_C/dt + u_C = E, obtenue par la loi des mailles et les relations u_R = Ri et i = C×du_C/dt.
Le condensateur stocke de l'énergie sous forme électrique, comme un petit « réservoir de charges ». C'est un composant clé des circuits RC étudiés au Bac.
- Un condensateur est constitué de deux armatures conductrices séparées par un isolant (diélectrique)
- Il stocke des charges : q = C × u_C avec C la capacité en farads (F) et u_C la tension
- Énergie stockée : E_C = ½ × C × u_C² (en joules)
- L'intensité du courant est liée à la tension par : i = C × du_C/dt
- Ordres de grandeur : μF (microfarad), nF (nanofarad), pF (picofarad)
- Un condensateur chargé se comporte comme un circuit ouvert en régime permanent (i = 0)
Exemple
Condensateur C = 100 μF chargé sous u_C = 12 V. Énergie stockée : E = ½ × 100×10⁻⁶ × 12² = 7,2×10⁻³ J = 7,2 mJ. Charge stockée : q = 100×10⁻⁶ × 12 = 1,2×10⁻³ C = 1,2 mC.
Piège à éviter
i = C×du_C/dt signifie qu'un courant ne traverse le condensateur que si sa tension VARIE. En régime permanent (u_C constante), i = 0 : le condensateur se comporte comme un circuit ouvert.
Lors de la charge, la tension aux bornes du condensateur monte progressivement vers E selon une exponentielle croissante. Le courant, lui, part de E/R et décroît vers 0.
- Circuit : générateur (f.é.m. E) + résistance R + condensateur C en série
- Loi des mailles : E = u_R + u_C = Ri + u_C
- Avec i = C×du_C/dt : τ×du_C/dt + u_C = E (équation différentielle du 1er ordre)
- Solution : u_C(t) = E(1 − e^(−t/τ)) — croissance exponentielle vers E
- Le courant : i(t) = (E/R)×e^(−t/τ) — il est maximal à t=0 et décroît vers 0
- À t = τ : u_C = E(1−e⁻¹) ≈ 0,63E (63% de la tension finale)
Exemple
R = 10 kΩ, C = 47 μF, E = 5 V. τ = RC = 10⁴ × 47×10⁻⁶ = 0,47 s. À t = τ = 0,47 s : u_C = 5×0,63 = 3,15 V. À t = 5τ = 2,35 s : u_C ≈ 5×0,993 = 4,97 V (charge quasi-complète).
Piège à éviter
L'équation différentielle τ×du_C/dt + u_C = E n'est valable qu'en CHARGE (avec le générateur). En décharge, le second membre est 0, pas E.
En décharge, le condensateur restitue son énergie à travers la résistance. La tension décroît exponentiellement vers 0 — c'est la courbe « miroir » de la charge.
- On retire le générateur et on ferme le circuit R-C
- Équation différentielle : τ×du_C/dt + u_C = 0
- Solution : u_C(t) = E×e^(−t/τ) — décroissance exponentielle vers 0
- Le courant : i(t) = −(E/R)×e^(−t/τ) (négatif car il circule en sens inverse)
- À t = τ : u_C = E×e⁻¹ ≈ 0,37E (37% de la tension initiale)
- L'énergie stockée est dissipée par effet Joule dans la résistance
Exemple
Condensateur chargé à E = 10 V, R = 1 kΩ, C = 220 μF. τ = 1000 × 220×10⁻⁶ = 0,22 s. À t = 0,22 s : u_C = 10 × 0,37 = 3,7 V. À t = 1,1 s (5τ) : u_C ≈ 10 × 0,007 = 0,07 V ≈ 0.
Piège à éviter
Le signe − dans i(t) = −(E/R)×e^(−t/τ) indique que le courant circule en sens inverse par rapport à la charge. Le condensateur se décharge : il FOURNIT le courant au lieu de le recevoir.
La constante de temps τ = RC est LE paramètre clé du circuit RC. Elle fixe la vitesse de charge et décharge : plus τ est grand, plus c'est lent.
- τ = R × C en secondes (R en ohms, C en farads)
- τ caractérise la rapidité de la charge/décharge : plus τ est petit, plus c'est rapide
- Après 5τ, le processus est terminé à 99% (régime permanent)
- Détermination graphique de τ : tangente à l'origine coupe l'asymptote à t = τ
- Exemple : R = 10 kΩ, C = 100 μF → τ = 10⁴ × 10⁻⁴ = 1 s
- Vérification dimensionnelle : [R×C] = Ω×F = (V/A)×(C/V) = C/A = s ✓
Exemple
On veut que la charge dure moins de 0,5 s (5τ < 0,5 s → τ < 0,1 s). Avec C = 10 μF : R < τ/C = 0,1/(10×10⁻⁶) = 10 000 Ω = 10 kΩ. On choisit R = 4,7 kΩ → τ = 47 ms, charge complète en ~235 ms.
Piège à éviter
Pour déterminer τ graphiquement, la tangente à l'origine doit couper l'ASYMPTOTE (y = E en charge, y = 0 en décharge). L'abscisse de cette intersection donne t = τ. Ne pas confondre avec le point à 63%.
Quiz - Circuit RC
10 questions
Notions clés — Physique-Chimie (Spé)
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Questions fréquentes
Les points clés à retenir sur Circuit RC, extraits du quiz de révision.
La constante de temps d'un circuit RC est :
Réponse : τ = R × C
τ = R × C en secondes. Plus R ou C est grand, plus la charge/décharge est lente.
Lors de la charge d'un condensateur, u_C(t) :
Réponse : Croît exponentiellement vers E
u_C(t) = E(1 − e^(−t/τ)) : la tension croît depuis 0 vers la valeur finale E selon une exponentielle croissante.
Après 5τ, le condensateur est chargé à environ :
Réponse : 99%
u_C(5τ) = E(1−e⁻⁵) ≈ E × 0,993 ≈ 99%. On considère que le régime permanent est atteint après 5τ.
L'énergie stockée dans un condensateur est :
Réponse : E = ½CU²
E_C = ½ × C × u_C². L'énergie dépend du carré de la tension : doubler la tension quadruple l'énergie stockée.