Physique-Chimie (Spé) — Mouvements et interactions
Gravitation et lois de Kepler
Loi de gravitation, champ gravitationnel, lois de Kepler, satellites
Résumé synthétiqueFiche en 4 sectionsQuiz de 10 questionsGratuit, sans pub
Résumé
La loi de gravitation universelle de Newton stipule que deux corps de masses m₁ et m₂, séparés d'une distance r, s'attirent avec une force F = G×m₁×m₂/r² (G = 6,67×10⁻¹¹ N·m²·kg⁻²). Le champ gravitationnel créé par un corps de masse M à la distance r est g⃗ = −GM/r² × u⃗_r, dirigé vers le centre du corps. Les lois de Kepler décrivent le mouvement des planètes : (1) les orbites sont des ellipses dont le Soleil est un foyer, (2) le rayon Soleil-planète balaie des aires égales en des temps égaux (loi des aires), (3) T²/a³ = constante pour toutes les planètes d'un même système (T période, a demi-grand axe). Pour un satellite en orbite circulaire : v = √(GM/r) et T = 2π√(r³/GM). L'orbite géostationnaire est à 36 000 km d'altitude avec T = 24 h.
Newton a montré que la même force qui fait tomber une pomme gouverne le mouvement des planètes. Deux corps s'attirent proportionnellement à leurs masses et inversement au carré de la distance.
- Deux corps ponctuels de masses m₁ et m₂ s'attirent avec la force F = G×m₁×m₂/r²
- G = 6,674 × 10⁻¹¹ N·m²·kg⁻² est la constante de gravitation universelle
- La force est attractive, dirigée selon la droite joignant les deux centres de masse
- Elle est proportionnelle aux masses et inversement proportionnelle au carré de la distance
- Exemple : force Terre-Lune ≈ 2×10²⁰ N (M_Terre = 6×10²⁴ kg, r = 384 000 km)
Exemple
Force Terre-Lune : F = G×M_T×M_L/r² = 6,67×10⁻¹¹ × 6×10²⁴ × 7,3×10²² / (3,84×10⁸)² ≈ 2×10²⁰ N. C'est cette force qui maintient la Lune en orbite.
Piège à éviter
La distance r est mesurée entre les CENTRES de masse, pas entre les surfaces. Pour la Terre, r = R_Terre + altitude.
Le champ gravitationnel g⃗ caractérise l'effet gravitationnel d'un astre en chaque point de l'espace. C'est ce champ qui donne son poids P⃗ = mg⃗ à tout objet.
- Le champ gravitationnel créé par M à la distance r : g = GM/r²
- Dirigé vers le centre du corps qui crée le champ
- À la surface de la Terre : g = GM_T/R_T² ≈ 9,81 m/s² (R_T = 6 371 km)
- Le poids P⃗ = mg⃗ est la force de gravitation subie par un objet de masse m dans le champ g⃗
- g diminue avec l'altitude : à 400 km (ISS), g ≈ 8,7 m/s² (pas l'apesanteur mais la chute libre !)
Exemple
À la surface de Mars (M = 6,4×10²³ kg, R = 3 390 km) : g = GM/R² = 6,67×10⁻¹¹ × 6,4×10²³ / (3,39×10⁶)² ≈ 3,7 m/s². Un objet de 60 kg pèserait P = 60 × 3,7 = 222 N (contre 589 N sur Terre).
Piège à éviter
g ≈ 9,81 m/s² n'est vrai qu'à la SURFACE de la Terre. En altitude, g diminue en 1/r². À l'altitude de l'ISS (400 km), g ≈ 8,7 m/s² — loin d'être nul !
Les lois de Kepler décrivent empiriquement le mouvement des planètes. Newton les a retrouvées théoriquement à partir de sa loi de gravitation. Elles s'appliquent à tout corps en orbite.
- 1ère loi (des orbites) : chaque planète décrit une ellipse dont le Soleil occupe un foyer
- 2e loi (des aires) : le segment Soleil-planète balaie des aires égales en des durées égales → la planète va plus vite au périhélie
- 3e loi (des périodes) : T²/a³ = 4π²/(GM) = constante pour tous les corps orbitant autour du même astre
- Pour une orbite circulaire : a = r (rayon), T² = (4π²/GM)×r³
- Application : connaissant T et r d'un satellite, on peut calculer M de l'astre central
Exemple
Terre : T = 365,25 j = 3,156×10⁷ s, a = 1 UA = 1,50×10¹¹ m. M_Soleil = 4π²a³/(GT²) = 4π² × (1,50×10¹¹)³ / (6,67×10⁻¹¹ × (3,156×10⁷)²) ≈ 2,0×10³⁰ kg.
Piège à éviter
La 3e loi T²/a³ = cste n'est valable que pour des corps orbitant autour du MÊME astre central. On ne peut pas comparer T²/a³ de la Lune (autour de la Terre) avec celui de Mars (autour du Soleil).
Un satellite en orbite circulaire est en chute libre permanente autour de la Terre. Sa vitesse dépend uniquement de l'altitude — plus il est haut, plus il va lentement.
- Satellite en orbite circulaire : PFD → mg = mv²/r → v = √(GM/r) (vitesse orbitale)
- Plus l'orbite est haute, plus la vitesse est faible et la période longue
- Satellite géostationnaire : T = 24 h, orbite équatoriale, altitude ≈ 36 000 km
- Il paraît fixe vu de la Terre → télécommunications, météo
- Impesanteur en orbite : le satellite et son contenu sont en chute libre permanente autour de la Terre
- ISS : orbite basse à ~400 km, T ≈ 92 min, v ≈ 7,7 km/s
Exemple
Altitude géostationnaire : T = 24 h = 86 400 s. r³ = GMT²/(4π²) = 6,67×10⁻¹¹ × 6×10²⁴ × (86400)²/(4π²). On trouve r ≈ 42 200 km, soit h = r − R_T ≈ 42 200 − 6 371 ≈ 35 800 km.
Piège à éviter
L'impesanteur dans l'ISS n'est PAS due à l'absence de gravité (g ≈ 8,7 m/s² à 400 km !). C'est parce que l'ISS et ses occupants sont en chute libre ENSEMBLE autour de la Terre.
Quiz - Gravitation et lois de Kepler
10 questions
Notions clés — Physique-Chimie (Spé)
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Questions fréquentes
Les points clés à retenir sur Gravitation et lois de Kepler, extraits du quiz de révision.
La force de gravitation entre deux masses est proportionnelle à :
Réponse : m₁×m₂/r²
F = G×m₁×m₂/r². La force est proportionnelle au produit des masses et inversement proportionnelle au carré de la distance.
La 1ère loi de Kepler stipule que les orbites planétaires sont :
Réponse : Des ellipses dont le Soleil est un foyer
Les planètes décrivent des ellipses dont le Soleil occupe l'un des foyers (pas le centre). Une orbite circulaire est un cas particulier d'ellipse.
La 3e loi de Kepler s'écrit :
Réponse : T²/a³ = constante
T²/a³ = 4π²/(GM) est constant pour tous les corps orbitant autour du même astre. C'est la loi des périodes.
La vitesse d'un satellite en orbite circulaire est :
Réponse : v = √(GM/r)
Du PFD en orbite circulaire : GMm/r² = mv²/r → v² = GM/r → v = √(GM/r). Plus l'orbite est haute, plus la vitesse est faible.