Sciences de l'ingénieur (Spé) — Mécanique
Dynamique des systèmes : PFD, théorème de l'énergie cinétique
Principe fondamental de la dynamique en translation et rotation, théorème de l'énergie cinétique, application aux systèmes mécaniques
Résumé synthétiqueFiche en 4 sectionsQuiz de 10 questionsGratuit, sans pub
Résumé
La dynamique relie les **forces** appliquées à un système à son **mouvement**. Pierre angulaire : le **Principe Fondamental de la Dynamique** (PFD), la deuxième loi de Newton, qui s'écrit en translation $\sum \vec{F}_{ext} = m\,\vec{a}_G$, où $m$ est la masse et $\vec{a}_G$ l'accélération du centre de gravité. Un chariot de $50\ \mathrm{kg}$ poussé par $200\ \mathrm{N}$ contre un frottement de $50\ \mathrm{N}$ accélère à $a = \dfrac{200 - 50}{50} = 3\ \mathrm{m/s^2}$. En **rotation** autour d'un axe fixe, le PFD devient $\sum M_\Delta = J_\Delta\,\alpha$, où $J_\Delta$ est le **moment d'inertie** et $\alpha$ l'accélération angulaire. Quand on cherche une **vitesse** ou un **travail** sans passer par l'accélération, le **théorème de l'énergie cinétique** (TEC) est plus direct : $\Delta E_c = \sum W(\vec{F}_{ext})$. Pour arrêter une voiture de $1000\ \mathrm{kg}$ roulant à $20\ \mathrm{m/s}$, le freinage doit dissiper $\tfrac12 m v^2 = 200\ \mathrm{kJ}$. Choisir entre PFD et TEC selon la question posée : voilà tout l'art de la dynamique.
Le **PFD en translation** est la deuxième loi de Newton : la somme des forces extérieures égale la masse fois l'accélération du centre de gravité. C'est une équation **vectorielle** que l'on **projette** sur des axes pour obtenir des équations scalaires résolubles. Avant tout calcul, on dresse le **bilan des forces** appliquées au système isolé.
- **PFD** : $\sum \vec{F}_{ext} = m\,\vec{a}_G$, où $m$ est la masse et $\vec{a}_G$ l'accélération du **centre de gravité** $G$.
- Équation **vectorielle** : on la **projette** sur les axes du repère pour obtenir des équations scalaires.
- Le **poids** $\vec{P} = m\,\vec{g}$ est dirigé vers le bas, avec $g \approx 9{,}81\ \mathrm{m/s^2}$.
- Le **frottement** s'oppose au mouvement : $f = \mu\,N$, où $\mu$ est le coefficient de frottement et $N$ la **réaction normale**.
- Le PFD n'est valable que dans un **référentiel galiléen** (le référentiel terrestre, en première approximation).
- Si $\sum \vec{F}_{ext} = \vec{0}$, alors $\vec{a}_G = \vec{0}$ : c'est le **principe d'inertie** (mouvement rectiligne uniforme ou repos).
Exemple
Un ascenseur de $m = 800\ \mathrm{kg}$ accélère vers le haut à $a = 1{,}5\ \mathrm{m/s^2}$. Sur l'axe vertical (orienté vers le haut), le PFD donne $T - P = m\,a$, donc la tension du câble vaut $T = m(g + a) = 800 \times (9{,}81 + 1{,}5) \approx 9048\ \mathrm{N}$. La tension dépasse le poids ($800 \times 9{,}81 = 7848\ \mathrm{N}$) car il faut en plus accélérer la cabine.
Piège à éviter
N'écris jamais $\sum \vec{F} = m\,\vec{v}$ : le PFD relie les forces à l'**accélération** $\vec{a}$, pas à la vitesse. Un objet peut aller très vite avec une accélération nulle (vitesse constante) et donc une résultante des forces nulle.
Pour un solide **tournant** autour d'un axe fixe $\Delta$, le PFD prend une forme analogue, où le **moment d'inertie** $J_\Delta$ joue le rôle de la masse et l'**accélération angulaire** $\alpha$ celui de l'accélération. Ce sont les **moments des forces** (et non les forces elles-mêmes) qui mettent en rotation.
- **PFD en rotation** : $\sum M_\Delta(\vec{F}_{ext}) = J_\Delta\,\alpha$, où $J_\Delta$ est le moment d'inertie autour de $\Delta$ et $\alpha$ l'accélération angulaire en $\mathrm{rad/s^2}$.
- Le **moment d'inertie** dépend de la répartition des masses : disque $J = \tfrac12 m R^2$, barre (axe central) $J = \tfrac{1}{12} m L^2$.
- **Moment d'une force** : $M_\Delta(\vec{F}) = F \times d$, où $d$ est le **bras de levier** (distance perpendiculaire de l'axe à la ligne d'action).
- Un **couple moteur** $C$ provoque, sans frottement, l'accélération angulaire $\alpha = \dfrac{C}{J_\Delta}$.
- **Théorème de Huygens** : pour un axe parallèle à celui passant par $G$, $J_\Delta = J_G + m\,d^2$.
- Analogie avec la translation : $\vec{F} \leftrightarrow M_\Delta$, $m \leftrightarrow J_\Delta$, $\vec{a} \leftrightarrow \alpha$.
Exemple
Un volant d'inertie de $J_\Delta = 0{,}5\ \mathrm{kg{\cdot}m^2}$ reçoit un couple moteur $C = 2\ \mathrm{N{\cdot}m}$. Son accélération angulaire vaut $\alpha = \dfrac{C}{J_\Delta} = \dfrac{2}{0{,}5} = 4\ \mathrm{rad/s^2}$. Partant du repos, il atteint $\omega = 100\ \mathrm{rad/s}$ en $t = \dfrac{\omega}{\alpha} = \dfrac{100}{4} = 25\ \mathrm{s}$.
Piège à éviter
Le **moment d'inertie** $J$ n'est pas la masse : un même solide a un $J$ différent selon l'**axe** choisi. Appliquer $J = \tfrac12 m R^2$ (axe central du disque) à un axe décalé est faux : il faut alors le **théorème de Huygens** $J_\Delta = J_G + m\,d^2$.
Le **TEC** offre une voie **énergétique** : la variation d'énergie cinétique d'un système égale la somme des **travaux** des forces extérieures. Grand avantage : c'est une équation **scalaire**, sans projection vectorielle, idéale pour trouver une **vitesse** ou un **travail** directement.
- **TEC** : $\Delta E_c = E_{c,\text{finale}} - E_{c,\text{initiale}} = \sum W(\vec{F}_{ext})$.
- Énergie cinétique de **translation** : $E_c = \tfrac12 m v^2$ ; de **rotation** : $E_c = \tfrac12 J \omega^2$.
- **Travail d'une force constante** : $W(\vec{F}) = F \times d \times \cos\alpha$, où $\alpha$ est l'angle entre $\vec{F}$ et le déplacement.
- **Travail du poids** : $W(\vec{P}) = m\,g\,(z_A - z_B) = m\,g\,\Delta h$, **positif** en descente, **négatif** en montée.
- Une force **perpendiculaire** au déplacement ne **travaille pas** ($\cos 90^\circ = 0$) : c'est le cas de la réaction normale.
- Le TEC étant scalaire, il évite la projection sur des axes : un atout pour les plans inclinés et les distances de freinage.
Exemple
Une caisse part du repos en haut d'un plan incliné, $h = 5\ \mathrm{m}$ de dénivelé, frottements négligés. Le TEC s'écrit $\tfrac12 m v^2 - 0 = m\,g\,h$, d'où $v = \sqrt{2 g h} = \sqrt{2 \times 9{,}81 \times 5} \approx 9{,}9\ \mathrm{m/s}$. La masse n'intervient pas : la vitesse en bas ne dépend que de la hauteur.
Piège à éviter
Dans $W(\vec{F}) = F\,d\cos\alpha$, $\alpha$ est l'angle entre la force et le **déplacement**, pas l'angle du plan incliné. Oublier le $\cos\alpha$ (ou prendre le mauvais angle) est l'erreur la plus fréquente du calcul de travail.
Face à un problème de dynamique, le bon réflexe est de **choisir l'outil adapté** à la grandeur cherchée : le **PFD** pour une accélération ou une force, le **TEC** pour une vitesse ou un travail. Une méthode rigoureuse évite la plupart des erreurs.
- **Étape 1** : isoler le système, préciser le **référentiel galiléen**, faire le **bilan des forces** extérieures.
- **Étape 2** : choisir la méthode — **PFD** si on cherche $\vec{a}$ ou une force, **TEC** si on cherche une vitesse ou un travail.
- **Étape 3 (PFD)** : projeter $\sum \vec{F} = m\,\vec{a}$ sur les axes pertinents et résoudre le système d'équations.
- **Étape 3 (TEC)** : calculer $E_{c,i}$, $E_{c,f}$ et le travail de **chaque** force, puis appliquer $\Delta E_c = \sum W$.
- **Vérifier l'homogénéité** : forces en $\mathrm{N}$, moments en $\mathrm{N{\cdot}m}$, énergie en $\mathrm{J}$, puissance en $\mathrm{W}$.
- **Vérifier la cohérence** : signe de l'accélération, ordre de grandeur du résultat — a-t-il un sens physique ?
Exemple
Distance de freinage d'une voiture de $m = 1000\ \mathrm{kg}$ à $v = 20\ \mathrm{m/s}$, force de freinage $F = 5000\ \mathrm{N}$. On cherche une **distance** : le TEC s'impose. $0 - \tfrac12 m v^2 = -F \times d$, donc $d = \dfrac{m v^2}{2F} = \dfrac{1000 \times 20^2}{2 \times 5000} = 40\ \mathrm{m}$. L'énergie dissipée est $\tfrac12 m v^2 = 200\ \mathrm{kJ}$.
Piège à éviter
Ne mélange pas les deux méthodes au sein d'une même équation. Le PFD donne une **accélération** (en $\mathrm{m/s^2}$), le TEC une **énergie** (en $\mathrm{J}$) : écrire $\Delta E_c = m\,a$ est dimensionnellement faux. Choisis une méthode et va au bout.
Quiz - Dynamique : PFD et théorème de l'énergie cinétique
10 questions
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Questions fréquentes
Les points clés à retenir sur Dynamique des systèmes : PFD, théorème de l'énergie cinétique, extraits du quiz de révision.
Quelle est l'expression du PFD en translation ?
Réponse :
$\sum \vec{F}_{ext} = m\,\vec{a}_G$
Le PFD (deuxième loi de Newton) en translation s'écrit $\sum \vec{F}_{ext} = m\,\vec{a}_G$ : la somme vectorielle des forces extérieures égale la masse fois l'accélération du centre de gravité. Il relie les forces à l'accélération, jamais à la vitesse.
Quel est le moment d'inertie d'un disque plein de masse $m$ et de rayon $R$ par rapport à son axe ?
Réponse :
$\tfrac12 m R^2$
Le moment d'inertie d'un disque plein homogène par rapport à son axe de symétrie vaut $J = \tfrac12 m R^2$. La formule $\tfrac{2}{5} m R^2$ correspond à une sphère pleine, et $\tfrac{1}{12} m L^2$ à une barre autour de son centre.
Le théorème de l'énergie cinétique s'écrit :
Réponse :
$\Delta E_c = \sum W(\vec{F}_{ext})$
Le TEC énonce que la **variation** d'énergie cinétique $\Delta E_c$ égale la **somme des travaux** de toutes les forces extérieures. C'est une équation scalaire, très efficace pour trouver une vitesse.
Un objet de $2\ \mathrm{kg}$ passe de $0$ à $10\ \mathrm{m/s}$. Quelle est la variation de son énergie cinétique ?
Réponse :
$100\ \mathrm{J}$
$\Delta E_c = \tfrac12 m v^2 - 0 = \tfrac12 \times 2 \times 10^2 = 100\ \mathrm{J}$. Attention à élever la vitesse au carré : doubler la vitesse quadruple l'énergie cinétique.