Sciences de l'ingénieur (Spé) — Structure et matériaux
Dimensionnement des structures : résistance des matériaux, contraintes, déformations
Sollicitations simples (traction, compression, flexion, cisaillement, torsion), contraintes, déformations, coefficient de sécurité, critère de résistance
Résumé synthétiqueFiche en 4 sectionsQuiz de 10 questionsGratuit, sans pub
Résumé
La résistance des matériaux (RDM) répond à une question d'ingénieur : cette pièce va-t-elle tenir ? Elle permet de dimensionner les éléments mécaniques pour qu'ils résistent aux efforts sans rompre ni trop se déformer. Les sollicitations simples sont la traction/compression (effort normal $N$), le cisaillement (effort tranchant $T$), la flexion (moment fléchissant $M_f$) et la torsion (moment $M_t$). En traction, la contrainte normale vaut $\sigma = \dfrac{N}{S}$ et la déformation relative $\varepsilon = \dfrac{\Delta L}{L_0}$. La loi de Hooke $\sigma = E\,\varepsilon$ relie les deux dans le domaine élastique, où $E$ est le module de Young ($E_{acier} \approx 210\,\mathrm{GPa}$, $E_{alu} \approx 70\,\mathrm{GPa}$). Ainsi une tige d'acier de section $100\,\mathrm{mm}^2$ tirée à $10\,\mathrm{kN}$ subit $\sigma = \dfrac{10\,000}{100} = 100\,\mathrm{MPa}$. Le critère de résistance impose $\sigma_{max} \le \sigma_{adm} = \dfrac{R_e}{s}$, où $R_e$ est la limite élastique et $s$ le coefficient de sécurité (souvent $2$ à $4$). En flexion, la contrainte maximale se calcule par $\sigma_{max} = \dfrac{M_f\,y_{max}}{I}$, où $I$ est le moment quadratique de la section.
Avant de calculer, il faut **identifier la sollicitation** : la pièce est-elle tirée, cisaillée, fléchie, tordue ? Chaque cas a son **effort intérieur** et sa **formule**. En SI Terminale, on isole une **seule** sollicitation à la fois.
- **Traction / compression :** effort **normal** $N$ le long de l'axe. **Traction** si $N > 0$ (allongement), **compression** si $N < 0$ (raccourcissement).
- **Cisaillement :** effort **tranchant** $T$ perpendiculaire à l'axe ; contrainte $\tau = \dfrac{T}{S}$. Exemples : **rivet**, **goupille**, **boulon**.
- **Flexion simple :** moment fléchissant $M_f$ qui **courbe** la poutre ; un côté des fibres est **comprimé**, l'autre **tendu**.
- **Torsion :** moment $M_t$ autour de l'axe, qui fait **tourner** les sections l'une par rapport à l'autre. Exemple : **arbre de transmission**.
- Le **diagramme des efforts intérieurs** ($N$, $T$, $M_f$) s'obtient en **coupant** la poutre puis en écrivant l'**équilibre** de la partie isolée.
- Les sollicitations **composées** (plusieurs à la fois) ne sont abordées que **qualitativement** au lycée.
Exemple
Un boulon assemble deux tôles tirées en sens opposés par $F = 6\,\mathrm{kN}$. La tige du boulon ($S = 50\,\mathrm{mm}^2$) travaille en **cisaillement** : $\tau = \dfrac{T}{S} = \dfrac{6\,000}{50} = 120\,\mathrm{MPa}$. On compare ensuite cette valeur à la résistance admissible au cisaillement.
Piège à éviter
**Erreur classique :** confondre **contrainte normale** $\sigma = \dfrac{N}{S}$ (effort le long de l'axe) et **contrainte de cisaillement** $\tau = \dfrac{T}{S}$ (effort perpendiculaire). Toujours repérer la **direction** de l'effort par rapport à la section.
La traction est le cas d'école de la RDM. Deux grandeurs résument tout : la **contrainte** $\sigma$ (l'effort ramené à la section) et la **déformation** $\varepsilon$ (l'allongement ramené à la longueur). La **loi de Hooke** les relie tant que le matériau reste **élastique**.
- **Contrainte normale :** $\sigma = \dfrac{N}{S}$ (en $\mathrm{Pa}$ ou $\mathrm{MPa}$), avec $N$ l'effort normal et $S$ l'aire de la section droite.
- **Déformation relative :** $\varepsilon = \dfrac{\Delta L}{L_0}$ (sans unité), $\Delta L$ l'allongement et $L_0$ la longueur initiale.
- **Loi de Hooke** (domaine élastique) : $\sigma = E\,\varepsilon$, où $E$ est le **module de Young** (rigidité du matériau).
- Ordres de grandeur : $E_{acier} \approx 210\,\mathrm{GPa}$, $E_{alu} \approx 70\,\mathrm{GPa}$, $E_{bois} \approx 10\,\mathrm{GPa}$.
- **Allongement :** $\Delta L = \dfrac{N\,L_0}{E\,S}$ — plus la section $S$ est grande, **moins** la pièce s'allonge.
- La **courbe de traction** $\sigma(\varepsilon)$ montre une zone **élastique** (réversible), puis **plastique**, puis la **rupture**.
Exemple
Une tige d'acier ($E = 210\,\mathrm{GPa} = 210\,000\,\mathrm{MPa}$), de longueur $L_0 = 2\,000\,\mathrm{mm}$ et de section $S = 100\,\mathrm{mm}^2$, est tirée par $N = 10\,\mathrm{kN}$. Contrainte : $\sigma = \dfrac{10\,000}{100} = 100\,\mathrm{MPa}$. Allongement : $\Delta L = \dfrac{N\,L_0}{E\,S} = \dfrac{10\,000 \times 2\,000}{210\,000 \times 100} \approx 0{,}95\,\mathrm{mm}$.
Piège à éviter
**Erreur classique :** mélanger les unités. Avec $N$ en **newtons** et $S$ en $\mathrm{mm}^2$, le résultat de $\sigma = \dfrac{N}{S}$ est **directement en $\mathrm{MPa}$** (car $1\,\mathrm{MPa} = 1\,\mathrm{N/mm}^2$). Ne reconvertis pas par erreur en $\mathrm{Pa}$.
En flexion, la contrainte n'est plus uniforme : elle **varie linéairement** dans la hauteur de la section, **nulle** sur la fibre neutre et **maximale** sur les fibres extrêmes. La résistance dépend alors d'une grandeur géométrique clé : le **moment quadratique** $I$.
- La contrainte varie **linéairement** dans la section : $\sigma(y) = \dfrac{M_f\,y}{I}$, avec $y$ la distance à la **fibre neutre**.
- **Contrainte maximale :** $\sigma_{max} = \dfrac{M_f\,y_{max}}{I}$, atteinte sur la fibre la **plus éloignée** ($y_{max}$).
- $I$ est le **moment quadratique** (second moment de surface), en $\mathrm{mm}^4$ : il dit comment la matière est **répartie** autour de la fibre neutre.
- **Section rectangulaire** ($b \times h$) : $I = \dfrac{b\,h^3}{12}$ ; **section circulaire** (diamètre $d$) : $I = \dfrac{\pi\,d^4}{64}$.
- Un **profilé en I** offre un grand $I$ pour une **faible masse** : sa matière est concentrée loin de la fibre neutre, dans les ailes.
- La **flèche** (déformation en flexion) diminue quand $I$ **augmente** : plus $I$ est grand, moins la poutre plie.
Exemple
Une poutre rectangulaire ($b = 20\,\mathrm{mm}$, $h = 40\,\mathrm{mm}$) supporte un moment $M_f = 200\,\mathrm{N{\cdot}m} = 200\,000\,\mathrm{N{\cdot}mm}$. Moment quadratique : $I = \dfrac{b\,h^3}{12} = \dfrac{20 \times 40^3}{12} \approx 1{,}07 \times 10^5\,\mathrm{mm}^4$. Avec $y_{max} = \dfrac{h}{2} = 20\,\mathrm{mm}$ : $\sigma_{max} = \dfrac{200\,000 \times 20}{1{,}07 \times 10^5} \approx 37{,}5\,\mathrm{MPa}$.
Piège à éviter
**Erreur classique :** se tromper sur la **puissance** dans $I$. Pour un rectangle c'est $h^3$ (et non $h^2$), et la hauteur intervient au **cube** : doubler $h$ multiplie $I$ par $8$. C'est pourquoi on oriente une poutre **hauteur vers le haut**.
Calculer une contrainte ne suffit pas : il faut la **comparer** à ce que le matériau supporte. Le **critère de résistance** garde une **marge** par rapport à la limite élastique $R_e$, grâce au **coefficient de sécurité** $s$. C'est lui qui transforme un calcul en pièce sûre.
- **Critère de résistance :** $\sigma_{max} \le \sigma_{adm} = \dfrac{R_e}{s}$, avec $R_e$ la **limite élastique** et $s$ le coefficient de sécurité.
- **Coefficient de sécurité :** $s = 2$ à $4$ en mécanique générale, $s = 5$ à $10$ en **levage** et applications de sécurité.
- **Dimensionnement en traction :** section minimale $S_{min} = \dfrac{N}{\sigma_{adm}}$ ; en flexion, $I_{min} = \dfrac{M_f\,y_{max}}{\sigma_{adm}}$.
- **En cisaillement :** $\tau_{max} \le \tau_{adm}$, avec $\tau_{adm} \approx 0{,}5$ à $0{,}6 \times \dfrac{R_e}{s}$.
- **Vérification :** calculer $\sigma_{max}$, comparer à $\sigma_{adm}$ ; si $\sigma_{max} > \sigma_{adm}$ → **redimensionner** (section plus grande ou meilleur matériau).
- Le **choix du matériau** pèse $R_e$, $E$, masse volumique, coût, tenue à la corrosion et usinabilité.
Exemple
Un acier de limite élastique $R_e = 250\,\mathrm{MPa}$ est utilisé avec un coefficient de sécurité $s = 2{,}5$, soit $\sigma_{adm} = \dfrac{R_e}{s} = \dfrac{250}{2{,}5} = 100\,\mathrm{MPa}$. Pour un effort $N = 10\,\mathrm{kN}$, la section minimale est $S_{min} = \dfrac{N}{\sigma_{adm}} = \dfrac{10\,000}{100} = 100\,\mathrm{mm}^2$ (par exemple un rond de $\varnothing\,12\,\mathrm{mm}$).
Piège à éviter
**Erreur classique :** comparer $\sigma_{max}$ à la limite **élastique** $R_e$ directement. On compare toujours à $\sigma_{adm} = \dfrac{R_e}{s}$ : sans le coefficient $s$, aucune marge ne couvre les incertitudes (surcharges, défauts, fatigue).
Quiz - Résistance des matériaux
10 questions
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Questions fréquentes
Les points clés à retenir sur Dimensionnement des structures : résistance des matériaux, contraintes, déformations, extraits du quiz de révision.
La contrainte normale en traction s'exprime par :
Réponse :
$\sigma = \dfrac{N}{S}$
La contrainte normale en traction/compression est $\sigma = \dfrac{N}{S}$ : effort normal $N$ divisé par l'aire $S$ de la section droite. Avec $N$ en $\mathrm{N}$ et $S$ en $\mathrm{mm}^2$, on obtient directement des $\mathrm{MPa}$.
La loi de Hooke dans le domaine élastique s'écrit :
Réponse :
$\sigma = E\,\varepsilon$
La loi de Hooke relie la contrainte $\sigma$ à la déformation $\varepsilon$ par le **module de Young** $E$ : $\sigma = E\,\varepsilon$. Elle n'est valable que dans le **domaine élastique** (déformation réversible).
Le module de Young de l'acier vaut environ :
Réponse :
$210\,\mathrm{GPa}$
Le module de Young de l'acier est d'environ $E_{acier} \approx 210\,\mathrm{GPa}$ ($210\,000\,\mathrm{MPa}$). C'est une mesure de sa **rigidité** : l'aluminium, plus souple, est vers $70\,\mathrm{GPa}$.
En flexion simple, la contrainte maximale se calcule par :
Réponse :
$\sigma_{max} = \dfrac{M_f\,y_{max}}{I}$
En flexion, la contrainte varie **linéairement** dans la section. La valeur maximale $\sigma_{max} = \dfrac{M_f\,y_{max}}{I}$ est atteinte sur la fibre la **plus éloignée** de la fibre neutre.