Les formules de Cramer permettent de résoudre :

Un système linéaire dont le déterminant est non nul

Pour résoudre AX = B avec A inversible, on calcule :

X = A⁻¹B. On multiplie à gauche par A⁻¹ : A⁻¹(AX) = A⁻¹B, soit IX = A⁻¹B, donc X = A⁻¹B.

L'état stable π d'une chaîne de Markov vérifie :

Tπ = π. L'état stable est un point fixe de la matrice de transition : Tπ = π. C'est un vecteur propre pour la valeur propre 1.

Si A = PDP⁻¹, alors A⁵ = ?

PD⁵P⁻¹. A² = (PDP⁻¹)(PDP⁻¹) = PD²P⁻¹. Par récurrence, Aⁿ = PDⁿP⁻¹.

Dans le modèle de Leontief X = AX + D, la production X est :

(I − A)⁻¹D. X − AX = D, soit (I − A)X = D, donc X = (I − A)⁻¹D si I − A est inversible.

La matrice d'adjacence d'un graphe non orienté est :

Symétrique. Dans un graphe non orienté, si i est relié à j, alors j est relié à i : mᵢⱼ = mⱼᵢ. La matrice est symétrique.

Les formules de Cramer permettent de résoudre :

Un système linéaire dont le déterminant est non nul. Les formules de Cramer donnent la solution d'un système linéaire AX = B quand det(A) ≠ 0.

Maths expertes — Matrices

Matrices : applications

Q: Le système { 2x + y = 7, x − y = 2 } a pour solution :

x = 3, y = 1. det = 2(−1) − 1(1) = −3. x = (7(−1) − 1(2))/(−3) = −9/(−3) = 3. y = (2(2) − 7(1))/(−3) = −3/(−3) = 1.

Q: Si Uₙ₊₁ = AUₙ, alors Uₙ = ?

AⁿU₀. Par récurrence : U₁ = AU₀, U₂ = A²U₀, ..., Uₙ = AⁿU₀.

Q: Dans une matrice d'adjacence, le coefficient (i,j) de M² représente :

Le nombre de chemins de longueur 2 de i à j. Le coefficient (i,j) de Mⁿ donne le nombre de chemins de longueur n de i à j. Pour M², c'est la longueur 2.

Q: Une matrice de transition stochastique en colonne vérifie :

La somme de chaque colonne vaut 1. Dans une matrice stochastique en colonne, chaque colonne représente une distribution de probabilités et somme à 1.

Suites matricielles, graphes et matrices d'adjacence, systèmes linéaires, modélisation

Résumé synthétiqueFiche en 5 sectionsQuiz de 10 questionsGratuit, sans pub

Résumé

Les matrices trouvent de nombreuses applications en modélisation. Un système linéaire de deux équations à deux inconnues s'écrit AX = B et se résout par X = A⁻¹B si A est inversible. Les suites définies par récurrence matricielle Uₙ₊₁ = AUₙ permettent d'étudier des systèmes couplés : par exemple deux populations en interaction. Si A = PDP⁻¹ (diagonalisation), alors Aⁿ = PDⁿP⁻¹ et on obtient une formule explicite pour Uₙ. Les matrices d'adjacence encodent les graphes : si M est la matrice d'adjacence d'un graphe, le coefficient (i,j) de Mⁿ donne le nombre de chemins de longueur n du sommet i au sommet j. En économie, le modèle de Leontief utilise des matrices pour modéliser les échanges entre secteurs. Les chaînes de Markov utilisent des matrices stochastiques pour modéliser l'évolution d'un système au cours du temps.

Articles utiles

Maths

Toutes les formules de maths à connaître en Terminale

Maths

Comment réviser les maths en Terminale : méthode complète

Questions fréquentes

Les points clés à retenir sur Matrices : applications, extraits du quiz de révision.

Le système { 2x + y = 7, x − y = 2 } a pour solution :

Réponse : x = 3, y = 1

det = 2(−1) − 1(1) = −3. x = (7(−1) − 1(2))/(−3) = −9/(−3) = 3. y = (2(2) − 7(1))/(−3) = −3/(−3) = 1.

Si Uₙ₊₁ = AUₙ, alors Uₙ = ?

Réponse : AⁿU₀

Par récurrence : U₁ = AU₀, U₂ = A²U₀, ..., Uₙ = AⁿU₀.

Dans une matrice d'adjacence, le coefficient (i,j) de M² représente :

Réponse : Le nombre de chemins de longueur 2 de i à j

Le coefficient (i,j) de Mⁿ donne le nombre de chemins de longueur n de i à j. Pour M², c'est la longueur 2.

Une matrice de transition stochastique en colonne vérifie :

Réponse : La somme de chaque colonne vaut 1

Dans une matrice stochastique en colonne, chaque colonne représente une distribution de probabilités et somme à 1.

Résumé

Questions fréquentes

Les points clés à retenir sur Matrices : applications, extraits du quiz de révision.

Le système { 2x + y = 7, x − y = 2 } a pour solution :

Réponse : x = 3, y = 1

det = 2(−1) − 1(1) = −3. x = (7(−1) − 1(2))/(−3) = −9/(−3) = 3. y = (2(2) − 7(1))/(−3) = −3/(−3) = 1.

Si Uₙ₊₁ = AUₙ, alors Uₙ = ?

Réponse : AⁿU₀

Par récurrence : U₁ = AU₀, U₂ = A²U₀, ..., Uₙ = AⁿU₀.

Dans une matrice d'adjacence, le coefficient (i,j) de M² représente :

Réponse : Le nombre de chemins de longueur 2 de i à j

Le coefficient (i,j) de Mⁿ donne le nombre de chemins de longueur n de i à j. Pour M², c'est la longueur 2.

Une matrice de transition stochastique en colonne vérifie :

Réponse : La somme de chaque colonne vaut 1

Dans une matrice stochastique en colonne, chaque colonne représente une distribution de probabilités et somme à 1.

Matrices : applications

Résumé

Systèmes linéaires et matrices

Suites et récurrences matricielles

Matrices d'adjacence de graphes

Chaînes de Markov

Modélisation économique

Quiz - Matrices : applications

Articles utiles

Questions fréquentes

Matrices : applications

Résumé

Systèmes linéaires et matrices

Suites et récurrences matricielles

Matrices d'adjacence de graphes

Chaînes de Markov

Modélisation économique

Quiz - Matrices : applications

Articles utiles

Questions fréquentes