$2728$ est-il divisible par $11$ ?

Oui, car $8 - 2 + 7 - 2 = 11 \equiv 0\ [11]$

Peut-on simplifier $6 \equiv 12\ [6]$ par $3$ pour obtenir $2 \equiv 4\ [6]$ ?

Non, car $\mathrm{pgcd}(3\,;6) \neq 1$

Le petit théorème de Fermat affirme que, si p est premier et p \nmid a :

a^{p-1} \equiv 1\ [p]. Petit théorème de Fermat : a^{p-1} \equiv 1\ [p] lorsque p est premier et ne divise pas a.

2728 est-il divisible par 11 ?

Oui, car 8 - 2 + 7 - 2 = 11 \equiv 0\ [11]. Critère par 11 : la somme alternée 8 - 2 + 7 - 2 = 11 \equiv 0\ [11]. Donc 2728 = 11 \times 248 est divisible par 11.

Dans RSA, la clé privée d vérifie :

ed \equiv 1\ [\varphi(n)]. d est l'inverse de e modulo \varphi(n) : ed \equiv 1\ [\varphi(n)]. C'est ce qui permet de déchiffrer.

Que vaut 3^{100} \bmod 7 ?

4. Par Fermat, 3^6 \equiv 1\ [7]. Or 100 = 6 \times 16 + 4, donc 3^{100} \equiv 3^4 = 81 \equiv 4\ [7].

L'écriture a \equiv b\ [n] signifie que :

n divise a - b. a \equiv b\ [n] \Leftrightarrow n \mid (a - b) \Leftrightarrow a et b ont le même reste modulo n.

Peut-on simplifier 6 \equiv 12\ [6] par 3 pour obtenir 2 \equiv 4\ [6] ?

Non, car \mathrm{pgcd}(3\,;6) \neq 1. On ne peut simplifier ac \equiv bc\ [n] par c que si \mathrm{pgcd}(c\,;n) = 1. Ici \mathrm{pgcd}(3\,;6) = 3 \neq 1 : interdit (et d'ailleurs 2 \equiv 4\ [6] est faux).

Maths expertes — Arithmétique

Arithmétique : congruences et applications

Q: À quoi 17 est-il congru modulo 5 ?

2. 17 = 3 \times 5 + 2, donc le reste est 2 : 17 \equiv 2\ [5].

Q: Si a \equiv 3\ [7] et b \equiv 5\ [7], alors ab \equiv\ ?\ [7]

1. ab \equiv 3 \times 5 = 15 \equiv 1\ [7] (car 15 = 2 \times 7 + 1).

Q: Le reste de 2^{10} dans la division par 7 est :

2. Par Fermat, 2^6 \equiv 1\ [7]. Donc 2^{10} = 2^6 \times 2^4 \equiv 16 \equiv 2\ [7].

Q: Le critère de divisibilité par 9 repose sur le fait que :

10 \equiv 1\ [9]. 10 \equiv 1\ [9], donc 10^k \equiv 1\ [9] : un nombre est congru à la somme de ses chiffres modulo 9.

Congruences modulo n, propriétés, petit théorème de Fermat, applications à la cryptographie

Résumé synthétiqueFiche en 5 sectionsQuiz de 10 questionsGratuit, sans pub

Résumé

Les **congruences** sont l'arithmétique de l'horloge : sur un cadran, $14\,\text{h}$ et $2\,\text{h}$ pointent au même endroit, car ils ont le même reste modulo $12$. De même, $a \equiv b\ [n]$ signifie que $a$ et $b$ ont le **même reste** dans la division par $n$, c'est-à-dire que $n$ divise $a - b$. La force de cet outil : il est **compatible** avec l'addition, la multiplication et les puissances, ce qui permet de calculer le reste de nombres gigantesques sans jamais les écrire. Le **petit théorème de Fermat** ($a^{p-1} \equiv 1\ [p]$ si $p$ est premier) accélère encore ces calculs. Ces idées, autrefois purement théoriques, font tourner aujourd'hui le chiffrement **RSA** qui protège nos communications.

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Questions fréquentes

Les points clés à retenir sur Arithmétique : congruences et applications, extraits du quiz de révision.

À quoi $17$ est-il congru modulo $5$ ?

Réponse :

$2$

$17 = 3 \times 5 + 2$, donc le reste est $2$ : $17 \equiv 2\ [5]$.

Si $a \equiv 3\ [7]$ et $b \equiv 5\ [7]$, alors $ab \equiv\ ?\ [7]$

Réponse :

$1$

$ab \equiv 3 \times 5 = 15 \equiv 1\ [7]$ (car $15 = 2 \times 7 + 1$).

Le reste de $2^{10}$ dans la division par $7$ est :

Réponse :

$2$

Par Fermat, $2^6 \equiv 1\ [7]$. Donc $2^{10} = 2^6 \times 2^4 \equiv 16 \equiv 2\ [7]$.

Le critère de divisibilité par $9$ repose sur le fait que :

Réponse :

$10 \equiv 1\ [9]$

$10 \equiv 1\ [9]$, donc $10^k \equiv 1\ [9]$ : un nombre est congru à la somme de ses chiffres modulo $9$.

Résumé

Questions fréquentes

Les points clés à retenir sur Arithmétique : congruences et applications, extraits du quiz de révision.

À quoi $17$ est-il congru modulo $5$ ?

Réponse :

$2$

$17 = 3 \times 5 + 2$, donc le reste est $2$ : $17 \equiv 2\ [5]$.

Si $a \equiv 3\ [7]$ et $b \equiv 5\ [7]$, alors $ab \equiv\ ?\ [7]$

Réponse :

$1$

$ab \equiv 3 \times 5 = 15 \equiv 1\ [7]$ (car $15 = 2 \times 7 + 1$).

Le reste de $2^{10}$ dans la division par $7$ est :

Réponse :

$2$

Par Fermat, $2^6 \equiv 1\ [7]$. Donc $2^{10} = 2^6 \times 2^4 \equiv 16 \equiv 2\ [7]$.

Le critère de divisibilité par $9$ repose sur le fait que :

Réponse :

$10 \equiv 1\ [9]$

$10 \equiv 1\ [9]$, donc $10^k \equiv 1\ [9]$ : un nombre est congru à la somme de ses chiffres modulo $9$.

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